Astronomie

Warum bringt das vom Mond auf die Erde ausgeübte Drehmoment den Mond dazu, seine Umlaufbahn zu vergrößern?

Warum bringt das vom Mond auf die Erde ausgeübte Drehmoment den Mond dazu, seine Umlaufbahn zu vergrößern?


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Soweit ich weiß, existiert dieses Drehmoment aufgrund der Fehlausrichtung der Gezeitenwölbung mit der Apsidenlinie Erde-Mond um einen bestimmten Winkel $alpha$, wodurch sich die Erdrotation etwas verlangsamt. Aber wie zieht das den Mond weg? Ich dachte, dieser "Verlust" an Drehimpuls wird in Gezeitenerwärmung übertragen. Ich kann nicht sehen, wie diese Energie in mehr Bahnimpuls übertragen wird, weil ich dachte, dass die Drehimpulserhaltung nicht mit der Rotation der Objekte zu tun hat. Ich meine, stimmt das nicht $c$ bleibt im Zweikörperproblem konstant (sein $c = vec{r} imes dot{vec{r}}$)? Wie spielt die Rotation dazu?


weil ich dachte, die Drehimpulserhaltung habe nichts mit der Rotation der Objekte zu tun.

Der Drehimpuls des Systems bleibt erhalten. Da die Rotation zum Drehimpuls beitragen kann, beeinflusst sie die Gleichung. Sie können es für punktförmige Objekte ignorieren. Beim Erde-Mond-System macht die Erdrotation einen wesentlichen Anteil am Gesamtimpuls aus.

Eine nicht allzu falsche Version wäre, eine auf der Erde zentrierte Achse anzunehmen. Dann könnte der Gesamtdrehimpuls des Systems durch Aufsummieren der Einzelimpulse für:

  • die Erdrotation
  • die Mondrotation
  • die Umlaufbahn des Mondes

Angenommen, der Mond ist durch Gezeiten mit der Erde verbunden und hat eine nahezu kreisförmige Umlaufbahn, dann erhalten Sie nur zwei Variablen. Sie können dann berechnen, dass, wenn Sie die Erdrotation verlangsamen, die einzige Möglichkeit, den Drehimpuls des Systems konstant zu halten, darin besteht, den Drehimpuls des Mondes um den gleichen Betrag zu erhöhen. Dies würde einer größeren Umlaufbahn entsprechen.

Wenn Sie die KE aus beiden Konfigurationen berechnen, stellen Sie außerdem fest, dass die zweite weniger Energie hat. Es muss also ein Energieverlust auftreten, um zwischen ihnen zu wechseln.


Wie groß ist die Zentripetalkraft, wenn der Mond die Erde umkreist?

Beliebige zwei Objekte ziehen sich gravitativ mit einer Kraft an, die durch die Newton-Gleichung gegeben ist:

#G# ist die universelle Gravitationskonstante, die normalerweise als "großes G" bezeichnet wird.

#m_1# und #m_2# sind die Massen der Objekte.

#r# ist der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten der beiden Objekte.

Beachten Sie, dass die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen den Objekten abnimmt.

Gäbe es keine Schwerkraft, würde der Mond dazu neigen, sich in einer geraden Linie zu bewegen. Da die Schwerkraft eine Zentripetalkraft bereitstellt, ist dieser Weg in Richtung Erde gekrümmt, was zu einer ungefähr kreisförmigen Umlaufbahn führt. Im Wesentlichen befindet sich der Mond im kontinuierlichen freien Fall in Richtung Erde.

Tatsächlich kreisen Mond und Erde um einen Mittelpunkt, der zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem des Mondes liegt. Da die Erde jedoch viel massereicher ist als der Mond, liegt dieses Zentrum innerhalb der Erde (in einer Entfernung von ungefähr #4670# km vom Erdmittelpunkt).

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es keine Zentripetalkraft zwischen Erde und Mond.

Erläuterung:

Newtons Gesetze der Schwerkraft und der Bewegung sind eine gute Näherung, solange die Massen der Körper nicht zu groß sind und sie sich mit Geschwindigkeiten bewegen, die deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Newton beschreibt die Schwerkraft als eine Kraft, obwohl die Schwerkraft keine Kraft ist. Tatsächlich ist es ungenau, den Begriff zu verwenden Schwerkraft.

Alles mit Masse verursacht eine Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit. Die dreidimensionale Analogie besteht darin, einen Ball auf eine gespannte Gummiplatte zu legen.

Ein Körper, der sich ohne äußere Kraft bewegt, bewegt sich geradlinig. In der 4-dimensionalen Raumzeit wird dies als Geodäte bezeichnet, die die kürzeste mögliche Linie zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Oberfläche ist.

Die Schwerkraft ist also keine Kraft. Es ist die Krümmung der Raumzeit. Eine Geodäte in der gekrümmten Raumzeit ist keine Gerade, sondern eine Kurve.

Es wirkt also keine Kraft zwischen Erde und Mond. Die Form der Mondbahn ist die Form der Geodäten des Mondes, die durch die von der Erdmasse verursachte gekrümmte Raumzeit wandern.


Ruhmeshalle

Wechselwirkung von Gravitationsmasse und Photonen

Einstein erweiterte seine spezielle Relativitätstheorie auf Beschleunigungsphänomene in seiner 1915 verfassten Allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein, 1916b). Er schlug vor, dass das gleiche Äquivalenzprinzip, da Masse der Energie entspricht, wie oben beschrieben, erfordern würde, dass die Gravitationsmasse mit der Masse der Photonen des sichtbaren Lichts (elektromagnetische Strahlung) wechselwirkt. Aus dieser Argumentation sagte Einstein die Ablenkung des Lichts von Sternen voraus, wenn das Licht in der Nähe eines massiven Körpers wie der Sonne passieren würde (Einstein, 1911). Die Anziehungskraft der Sonne würde das Licht eines entfernten Sterns anziehen und biegen, wenn dieses Licht in der Nähe des Sonnenkörpers passiert. Einstein kam zu dem Schluss, dass diese Ablenkung des Lichts zum Sonnenkörper von der Erde aus beobachtet werden könnte, wenn das Sonnenlicht durch eine totale Sonnenfinsternis blockiert würde. Im Jahr 1913, vor der totalen Sonnenfinsternis im Mai 1919, zeichnete Einstein eine Skizze, die veranschaulichte, wie die Schwerkraft der Sonne das Licht in der Nähe der Sonne ablenken würde, wodurch Sterne für Beobachter auf der Erde so erscheinen, als hätten sie ihre Position im Weltraum verschoben. Einsteins Vorhersage erwies sich als wahr, als britische Astronomen im Mai 1919 Aufnahmen der totalen Sonnenfinsternis machten. Der britische Astronom Arthur Eddington bewies, dass Einsteins Vorhersage wahr ist. Er entdeckte einen Stern, der hinter der Sonne hätte verborgen sein sollen. Fotografien der totalen Sonnenfinsternis zeigten, wie die Positionen einiger Sterne von ihren Positionen abwichen, wenn die Sterne bei anderen Gelegenheiten mit der Sonne an einer anderen Position am Himmel fotografiert wurden. Diese Erkenntnis machte Einstein sofort zu einer Berühmtheit. Die London Times am 7. November 1919 titelte „Revolution in Science, New Theory of the Universe, Newtonian Ideas Overthrown“. An die Demonstration von Einsteins Theorie erinnert die 2004 von Serbien herausgegebene Briefmarke. Die Briefmarke veranschaulicht, wie die Lichtkrümmung in der Nähe der Sonne den Anschein erweckte, dass sich der entfernte Stern seitlich und nicht direkt hinter der Sonne befand. Eddington bemerkte, dass es der größte Moment seines Lebens war, als er das Bild eines Sterns vermisste und feststellte, dass die Schwerkraft der Sonne den Raum, durch den das Licht gewandert war, verzerrte. Der Effekt wurde in Fotos bestätigt, die während der Sonnenfinsternis von 1922 aufgenommen wurden. Wie vom American Institute of Physics festgestellt:

Die Sonnenfinsternis-Experimente wurden wie die meisten wichtigen neuen Wissenschaften an der äußersten Grenze der verfügbaren Techniken durchgeführt. Erst in den 1960er Jahren konnte mit stark verbesserten Methoden die Gravitationsbiegung von Licht zweifelsfrei nachgewiesen werden. Bis dahin konnte man fast sagen, dass die Logik und Schönheit von Einsteins Theorie die Beobachtungen ebenso bestätigten wie die Beobachtungen, um seine Theorie zu bestätigen.

Eddingtons Funde während der Sonnenfinsternis von 1919, die Einsteins Vorhersagen bestätigten, wurden mit der hier abgebildeten Briefmarke von São Tomé und Príncipe im Jahr 2009 erinnert.

Zusätzlich zu der oben beschriebenen Ablenkung des Lichts durch die Schwerkraft der Sonne machte Einstein mehrere Vorhersagen aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, einschließlich der perihelischen Umlaufbahn des Planeten Merkur (Einstein, 1915). In seinem am 11. Juli 1923 gehaltenen Nobel-Vortrag (Verspätung und Inhalt des Vortrags siehe unten) unterstrich Einstein einige der Vorhersagen seiner Theorie, als er sagte:

Die genannten Überlegungen führten zur Gravitationstheorie, die in erster Näherung die Newtonsche Theorie liefert und darüber hinaus die Bewegung des Perihels des Merkur, die Lichtablenkung durch die Sonne und die Rotverschiebung von Spektrallinien Universum]…

Einstein (1923).

Probleme

Andrea, eine 63,0 kg schwere Sprinterin, startet ein Rennen mit einer Beschleunigung von 4.200 m/s 2 4.200 m/s 2 . Was ist die äußere Nettokraft auf sie?

Wenn die Sprinterin aus dem vorherigen Problem 20,00 m mit dieser Geschwindigkeit beschleunigt und diese Geschwindigkeit dann für den Rest eines 100,00-m-Laufs beibehält, wie lange wird sie dann für das Rennen sein?

Eine Reinigungskraft schiebt einen 4,50 kg schweren Wäschewagen so, dass die äußere Nettokraft auf ihn 60,0 N beträgt. Berechnen Sie die Größe der Beschleunigung seines Wagens.

Astronauten im Orbit sind anscheinend schwerelos. Dies bedeutet, dass eine clevere Methode zur Messung der Masse von Astronauten erforderlich ist, um ihre Massenzunahme oder -verluste zu überwachen und ihre Ernährung anzupassen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, eine bekannte Kraft auf einen Astronauten auszuüben und die erzeugte Beschleunigung zu messen. Angenommen, eine externe Nettokraft von 50,0 N wird ausgeübt und die Beschleunigung eines Astronauten wird mit 0,893 m/s 2 0,893 m/s 2 gemessen. (a) Berechnen Sie ihre Masse. (b) Durch das Ausüben einer Kraft auf den Astronauten erfährt das Fahrzeug, in dem er umkreist, eine gleiche und entgegengesetzte Kraft. Verwenden Sie dieses Wissen, um eine Gleichung für die Beschleunigung des Systems (Astronaut und Raumschiff) zu finden, die von einem nahen Beobachter gemessen würde. (c) Diskutieren Sie, wie sich dies auf die Messung der Beschleunigung des Astronauten auswirken würde. Schlagen Sie eine Methode vor, mit der ein Rückstoß des Fahrzeugs vermieden wird.

In Abbildung 5.12 ist die äußere Nettokraft auf den 24-kg-Mäher mit 51 N angegeben. Wenn die Reibungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt, 24 N beträgt, welche Kraft F (in Newton) übt die Person auf dem Mäher aus? Angenommen, der Mäher bewegt sich mit 1,5 m/s, wenn die Kraft F ist entfernt. Wie weit fährt der Mäher, bevor er anhält?

Wenn der im vorherigen Problem gezeigte Raketenschlitten mit nur einer brennenden Rakete beginnt, wie groß ist diese Beschleunigung? Angenommen, die Masse des Systems beträgt 2,10 × 10 3 2,10 × 10 3 kg, der Schub T beträgt 2,40 × 10 4 N , 2,40 × 10 4 N , und die Reibungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt, beträgt 650,0 N. (b) Warum ist die Beschleunigung nicht ein Viertel der Beschleunigung, wenn alle Raketen brennen?

Wie groß ist die der Bewegung des Raketenschlittens entgegengesetzte Beschleunigung, wenn dieser aus einer Geschwindigkeit von 1000,0 km/h in 1,10 s zum Stillstand kommt? (Eine solche Beschleunigung entgegen der Bewegung führte dazu, dass eine Testperson ohnmächtig wurde und vorübergehend erblindete.)

Angenommen, zwei Kinder stoßen horizontal, aber in genau entgegengesetzte Richtungen, auf ein drittes Kind in einem Wagen. Das erste Kind übt eine Kraft von 75,0 N aus, das zweite eine Kraft von 90,0 N, die Reibung beträgt 12,0 N und die Masse des dritten Kindes plus Wagen beträgt 23,0 kg. (a) Welches System ist von Interesse, wenn die Beschleunigung des Kindes im Wagen berechnet werden soll? (Siehe Freikörperdiagramm.) (b) Berechnen Sie die Beschleunigung. (c) Wie hoch wäre die Beschleunigung, wenn die Reibung 15,0 N betragen würde?

Ein Auto mit einer Masse von 1000,0 kg beschleunigt in 10,0 s von 0 auf 90,0 km/h. (a) Wie groß ist seine Beschleunigung? (b) Wie groß ist die Nettokraft auf das Auto?

Der Fahrer des vorherigen Problems betätigt die Bremsen, wenn sich das Auto mit 90,0 km/h bewegt, und das Auto kommt nach 40,0 m zum Stehen. Wie groß ist die Nettokraft auf das Auto während seiner Beschleunigung entgegen der Bewegung?

Angenommen, das Teilchen des vorherigen Problems erfährt auch Kräfte F → 2 = −15 i ^ N F → 2 = −15 i ^ N und F → 3 = 6.0 j ^ N . F → 3 = 6,0 j ^ N . Wie groß ist in diesem Fall seine Beschleunigung?

Finden Sie die Beschleunigung des Körpers mit einer Masse von 5,0 kg, die unten gezeigt wird.

In der folgenden Abbildung ist die horizontale Oberfläche, auf der dieser Block gleitet, reibungsfrei. Wenn die beiden darauf wirkenden Kräfte jeweils den Betrag F = 30.0 N F = 30.0 N und M = 10.0 kg M = 10.0 kg haben, wie groß ist dann die resultierende Beschleunigung des Blocks?

5.4 Masse und Gewicht

Das Gewicht eines Astronauten plus seinem Raumanzug auf dem Mond beträgt nur 250 N. (a) Wie viel wiegt der passende Astronaut auf der Erde? (b) Welche Masse hat der Mond? Auf der Erde?

Wiederholen Sie die obige Aufgabe für eine Situation, in der der Raketenschlitten mit einer Geschwindigkeit von 201 m/s 2 201 m/s 2 entgegen der Bewegung beschleunigt. Bei diesem Problem werden die Kräfte durch den Sitz und den Sicherheitsgurt ausgeübt.

Ein Körper mit einer Masse von 2,00 kg wird durch eine vertikale Kraft von 25,0 N senkrecht nach oben gedrückt. Wie groß ist seine Beschleunigung?

Ein 12.500 N schweres Auto startet aus dem Stand und beschleunigt in 5,00 s auf 83,0 km/h. Die Reibungskraft beträgt 1350 N. Ermitteln Sie die vom Motor erzeugte Kraft.

Ein Körper mit einer Masse von 10,0 kg befindet sich im Schwerefeld der Erde mit g = 9,80 m/s 2 g = 9,80 m/s 2 . Wie groß ist die Nettokraft auf den Körper, wenn keine anderen äußeren Kräfte auf den Körper einwirken?

Ein Feuerwehrmann hat Masse ich er hört den Feueralarm und rutscht mit Beschleunigung die Stange hinunter ein (das ist weniger als G in der Größenordnung). (a) Schreiben Sie eine Gleichung, die die vertikale Kraft angibt, die er auf den Pol ausüben muss. (b) Wenn seine Masse 90,0 kg beträgt und er mit 5,00 m/s 2 , 5,00 m/s 2 beschleunigt, wie groß ist dann seine aufgebrachte Kraft?

Ein Baseballfänger führt einen Stunt für einen Fernsehwerbespot durch. Er fängt einen Baseball (Masse 145 g), der aus einer Höhe von 60,0 m über seinem Handschuh fallen gelassen wird. Sein Handschuh stoppt den Ball in 0,0100 s. Welche Kraft übt sein Handschuh auf den Ball aus?

5.5 Das dritte Newtonsche Gesetz

(a) Welche äußere Nettokraft wird auf eine 1100,0 kg schwere Artilleriegranate ausgeübt, die von einem Schlachtschiff abgefeuert wird, wenn die Granate mit 2,40 × 10 4 m/s 2 beschleunigt wird? 2,40 × 10 4 m/s 2 ? (b) Wie groß ist die Kraft, die die Artilleriegranate auf das Schiff ausübt, und warum?

Ein mutiger, aber unzulänglicher Rugbyspieler wird von einem gegnerischen Spieler nach hinten gedrückt, der eine Kraft von 800,0 N auf ihn ausübt. Die Masse des Verlierers plus Ausrüstung beträgt 90,0 kg und er beschleunigt mit 1,20 m/s 2 1,20 m/s 2 rückwärts. (a) Wie groß ist die Reibungskraft zwischen den Füßen des unterlegenen Spielers und dem Rasen? (b) Welche Kraft übt der gewinnende Spieler auf den Boden aus, um sich vorwärts zu bewegen, wenn seine Masse plus Ausrüstung 110,0 kg beträgt?

Ein Geschichtsbuch liegt über einem Physikbuch auf einem Schreibtisch, wie unten gezeigt ist auch ein Freikörperdiagramm zu sehen. Das Geschichts- und das Physikbuch wiegen jeweils 14 N und 18 N. Identifizieren Sie jede Kraft in jedem Buch mit einer doppelten Indexnotation (z. B. kann die Kontaktkraft des Geschichtsbuchs, die gegen das Physikbuch drückt, als F → HP F → HP beschrieben werden) und bestimmen Sie den Wert jeder dieser Kräfte, indem Sie die Verfahren verwendet.

Ein Lastwagen kollidiert mit einem Pkw, und während der Kollision ist die Nettokraft auf jedes Fahrzeug im Wesentlichen die Kraft, die vom anderen ausgeübt wird. Angenommen, die Masse des Autos beträgt 550 kg, die Masse des Lastwagens beträgt 2200 kg und die Beschleunigung des Lastwagens beträgt 10 m/s 2 10 m/s 2 . Bestimmen Sie die Größe der Beschleunigung des Autos.

5.6 Gemeinsame Kräfte

Ein Bein ist in einem Zugsystem aufgehängt, wie unten gezeigt. (a) Welche Rolle in der Abbildung wird verwendet, um die auf den Fuß ausgeübte Kraft zu berechnen? (b) Wie groß ist die Spannung im Seil? Dabei ist T → T → die Spannung, w → Bein w → Bein ist das Gewicht des Beins und w → w → ist das Gewicht der Last, die die Spannung liefert.

Angenommen, das Schienbein in der vorherigen Abbildung wäre ein Femur in einer Traktionsanordnung für einen gebrochenen Knochen, mit Rollen und Seilen verfügbar. Wie könnten wir die Kraft entlang des Femurs bei gleichem Gewicht erhöhen?

Zwei Teams von jeweils neun Mitgliedern führen ein Tauziehen und ziehen an einem horizontalen Seil in entgegengesetzte Richtungen. Jedes der Mitglieder des ersten Teams hat eine durchschnittliche Masse von 68 kg und übt beim Ziehen am Seil eine durchschnittliche Kraft von 1350 N horizontal auf den Boden aus. Jedes der Mitglieder des zweiten Teams hat eine durchschnittliche Masse von 73 kg und übt eine durchschnittliche Kraft von 1365 N horizontal auf den Boden aus, während sie am Seil in die entgegengesetzte Richtung ziehen. (a) Wie groß ist die Beschleunigung der beiden Teams und welches Team gewinnt? (b) Wie groß ist die Spannung im Seilabschnitt zwischen den Teams?

Welche Kraft muss ein Trampolin auf Jennifer, eine 45,0 kg schwere Turnerin, aufbringen, um sie mit 7,50 m/s 2 7,50 m/s 2 gerade nach oben zu beschleunigen? Die Antwort ist unabhängig von der Geschwindigkeit der Turnerin – sie kann sich nach oben oder unten bewegen oder sofort stillstehen.


39 Newtons universelles Gravitationsgesetz

Was haben schmerzende Füße, ein fallender Apfel und die Mondbahn gemeinsam? Jeder wird durch die Gravitationskraft verursacht. Unsere Füße werden belastet, indem sie unser Gewicht tragen – die Kraft der Erdanziehungskraft auf uns. Ein Apfel fällt von einem Baum, weil die gleiche Kraft einige Meter über der Erdoberfläche wirkt. Und der Mond umkreist die Erde, weil die Schwerkraft die nötige Zentripetalkraft auf Hunderte Millionen Meter Entfernung liefern kann. Tatsächlich bewirkt dieselbe Kraft, dass Planeten die Sonne umkreisen, Sterne das Zentrum der Galaxie umkreisen und Galaxien sich zusammenschließen. Die Schwerkraft ist ein weiteres Beispiel für die zugrunde liegende Einfachheit in der Natur. Sie ist die schwächste der vier in der Natur vorkommenden Grundkräfte und in gewisser Weise auch die am wenigsten verstandene. Es handelt sich um eine Kraft, die aus der Ferne ohne physischen Kontakt wirkt und durch eine Formel ausgedrückt wird, die überall im Universum gültig ist, für Massen und Entfernungen, die vom winzigen bis zum immensen reichen.

Sir Isaac Newton war der erste Wissenschaftler, der die Gravitationskraft genau definierte und zeigte, dass sie sowohl fallende Körper als auch astronomische Bewegungen erklären kann. Siehe Abbildung). Aber Newton war nicht der erste, der vermutete, dass dieselbe Kraft sowohl unser Gewicht als auch die Bewegung der Planeten verursacht. Sein Vorläufer Galileo Galilei hatte behauptet, fallende Körper und planetarische Bewegungen hätten dieselbe Ursache. Einige Zeitgenossen Newtons, wie Robert Hooke, Christopher Wren und Edmund Halley, hatten ebenfalls Fortschritte beim Verständnis der Gravitation gemacht. Aber Newton war der erste, der eine exakte mathematische Form vorschlug und diese Form benutzte, um zu zeigen, dass die Bewegung von Himmelskörpern konische Abschnitte sein sollte – Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Diese theoretische Vorhersage war ein großer Triumph – es war seit einiger Zeit bekannt, dass Monde, Planeten und Kometen solchen Pfaden folgen, aber niemand war in der Lage gewesen, einen Mechanismus vorzuschlagen, der sie dazu veranlasste, diesen Pfaden und anderen nicht zu folgen.

Die Gravitationskraft ist relativ einfach. Es ist immer attraktiv und hängt nur von den beteiligten Massen und deren Entfernung ab. In moderner Sprache ausgedrückt, besagt Newtons universelles Gravitationsgesetz, dass jedes Teilchen im Universum jedes andere Teilchen mit einer Kraft entlang einer sie verbindenden Linie anzieht. Die Kraft ist direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen.

Die Größe der Kraft auf jedes Objekt (eines hat eine größere Masse als das andere) ist gleich, im Einklang mit dem dritten Newtonschen Gesetz.

Die Körper, mit denen wir es zu tun haben, sind in der Regel groß. Um die Situation zu vereinfachen, nehmen wir an, dass sich der Körper so verhält, als ob seine gesamte Masse auf einen bestimmten Punkt konzentriert ist, der als Massenmittelpunkt (CM) bezeichnet wird. Für zwei Körper mit Massen und mit Abstand zwischen ihren Massenschwerpunkten ist die Gleichung für Newtons universelles Gravitationsgesetzton

wo ist die Größe der Gravitationskraft und ist ein Proportionalitätsfaktor, der als Gravitationskonstante bezeichnet wird. ist eine universelle Gravitationskonstante – das heißt, man nimmt an, dass sie überall im Universum gleich ist. Es wurde experimentell gemessen, um

in SI-Einheiten. Beachten Sie, dass die Einheiten von sind so, dass man eine Kraft in Newton erhält aus , wenn Massen in Kilogramm und Entfernungen in Metern berücksichtigt werden. Zum Beispiel erfahren zwei 1.000-kg-Massen, die durch 1.000 m voneinander getrennt sind, eine Anziehungskraft von . Dies ist eine außerordentlich kleine Kraft. Die geringe Größe der Gravitationskraft entspricht der alltäglichen Erfahrung. Wir wissen nicht, dass selbst große Objekte wie Berge Gravitationskräfte auf uns ausüben. Tatsächlich ist unser Körpergewicht die Anziehungskraft des ganze Erde auf uns mit einer Masse von .

Denken Sie daran, dass die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft handelt von auf der Erde. Wir können jetzt feststellen, warum das so ist. Das Gewicht eines Gegenstandes mg ist die Gravitationskraft zwischen ihm und der Erde. Ersetzend mg zum in Newtons universellem Gravitationsgesetz gibt

wo ist die Masse des Objekts, ist die Masse der Erde, und ist der Abstand zum Erdmittelpunkt (der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten des Objekts und der Erde). Siehe Abbildung). Die Masse des Objekts annulliert und hinterlässt eine Gleichung für :

Ersetzen bekannter Werte für Masse und Radius der Erde (auf drei signifikante Stellen),

und wir erhalten einen Wert für die Beschleunigung eines fallenden Körpers:

Dies ist der Erwartungswert und ist unabhängig von der Körpermasse. Newtons Gravitationsgesetz führt Galileis Beobachtung, dass alle Massen mit derselben Beschleunigung fallen, noch einen Schritt weiter und erklärt die Beobachtung in Bezug auf eine Kraft, die das Fallen von Objekten verursacht – tatsächlich in Bezug auf eine universell existierende Anziehungskraft zwischen Massen.

Nehmen Sie eine Murmel, eine Kugel und einen Löffel und lassen Sie sie aus derselben Höhe fallen. Schlagen sie gleichzeitig auf den Boden? Wenn Sie auch ein Blatt Papier fallen lassen, verhält es sich wie die anderen Gegenstände? Erklären Sie Ihre Beobachtungen.

Es wird immer noch versucht, die Gravitationskraft zu verstehen. Wie wir in Teilchenphysik sehen werden, erforscht die moderne Physik die Verbindungen der Gravitation zu anderen Kräften, dem Raum und der Zeit. Die Allgemeine Relativitätstheorie verändert unsere Sicht auf die Gravitation und führt uns dazu, uns Gravitation als eine Verbiegung von Raum und Zeit vorzustellen.

Im folgenden Beispiel machen wir einen Vergleich ähnlich dem von Newton selbst. Er stellte fest, dass, wenn die Gravitationskraft den Mond dazu veranlasst, die Erde zu umkreisen, die Erdbeschleunigung der Zentripetalbeschleunigung des Mondes auf seiner Umlaufbahn entsprechen sollte. Newton stellte fest, dass die beiden Beschleunigungen „ziemlich fast“ übereinstimmten.

(a) Bestimmen Sie die Beschleunigung aufgrund der Erdanziehung in der Entfernung vom Mond.

(b) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung, die erforderlich ist, um den Mond in seiner Umlaufbahn zu halten (unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn um eine feste Erde) und vergleichen Sie sie mit dem Wert der Beschleunigung aufgrund der Erdanziehung, den Sie gerade gefunden haben.

Diese Berechnung ist die gleiche wie die Berechnung der Erdbeschleunigung aufgrund der Erdanziehung, außer dass ist die Entfernung vom Mittelpunkt der Erde zum Mittelpunkt des Mondes. Der Radius der nahezu kreisförmigen Umlaufbahn des Mondes beträgt .

Lösung für (a)

Einsetzen bekannter Werte in den Ausdruck für oben gefunden und erinnere mich daran ist die Masse der Erde nicht des Mondes, ergibt yield

Die Zentripetalbeschleunigung kann mit beiden Formen von form berechnet werden

Wir wählen die zweite Form:

wo ist die Winkelgeschwindigkeit des Mondes um die Erde.

Lösung für (b)

Unter der Annahme, dass die Periode (die Zeit, die für eine vollständige Umdrehung benötigt wird) der Mondumlaufbahn 27,3 Tage beträgt, (d) und unter Verwendung von

Die Zentripetalbeschleunigung ist

Die Richtung der Beschleunigung geht zum Erdmittelpunkt.

Die in (b) gefundene Zentripetalbeschleunigung des Mondes weicht um weniger als 1% von der Beschleunigung aufgrund der Erdanziehungskraft in (a) ab. Diese Übereinstimmung ist ungefähr, da die Umlaufbahn des Mondes leicht elliptisch ist und die Erde nicht stationär ist (eher dreht sich das Erde-Mond-System um seinen Massenmittelpunkt, der sich etwa 1700 km unter der Erdoberfläche befindet). Die klare Schlussfolgerung ist, dass die Gravitationskraft der Erde den Mond dazu bringt, die Erde zu umkreisen.

Warum bleibt die Erde nicht stationär, während der Mond sie umkreist? Dies liegt daran, dass, wie aus Newtons drittem Gesetz erwartet, wenn die Erde eine Kraft auf den Mond ausübt, der Mond eine gleiche und entgegengesetzte Kraft auf die Erde ausüben sollte (siehe (Abbildung)). Wir spüren den Einfluss des Mondes auf die Erdbewegung nicht, weil die Schwerkraft des Mondes unsere Körper direkt mit der Erde bewegt, aber es gibt andere Anzeichen auf der Erde, die die Wirkung der Gravitationskraft des Mondes deutlich zeigen, wie in Satelliten und Keplers Gesetzen diskutiert: An discussed Argument für Einfachheit.

Gezeiten

Ozeangezeiten sind ein sehr beobachtbares Ergebnis der Schwerkraft des Mondes, die auf die Erde einwirkt. (Abbildung) ist eine vereinfachte Darstellung der Position des Mondes relativ zu den Gezeiten. Da Wasser leicht auf der Erdoberfläche fließt, entsteht eine Flut auf der dem Mond am nächsten liegenden Seite der Erde, wo die Anziehungskraft des Mondes am stärksten ist. Warum gibt es auch auf der gegenüberliegenden Seite der Erde eine Flut? Die Antwort ist, dass die Erde mehr zum Mond gezogen wird als das Wasser auf der anderen Seite, weil die Erde näher am Mond ist. Das Wasser auf der dem Mond am nächsten liegenden Seite der Erde wird also von der Erde weggezogen, und die Erde wird vom Wasser auf der anderen Seite weggezogen. Wenn sich die Erde dreht, behält die Gezeitenwölbung (ein Effekt der Gezeitenkräfte zwischen einem umlaufenden natürlichen Satelliten und dem von ihm umkreisten Primärplaneten) seine Ausrichtung mit dem Mond bei. Es gibt also zwei Gezeiten pro Tag (die tatsächliche Gezeitenperiode beträgt etwa 12 Stunden und 25,2 Minuten), da sich auch der Mond jeden Tag in seiner Umlaufbahn bewegt.

Die Sonne beeinflusst auch die Gezeiten, obwohl sie etwa die Hälfte der Wirkung des Mondes hat. Die größten Gezeiten, auch Spring Tide genannt, treten jedoch auf, wenn Erde, Mond und Sonne ausgerichtet sind. Die kleinsten Gezeiten, sogenannte Nipptiden, treten auf, wenn die Sonne auf einem steht Winkel zur Erde-Mond-Ausrichtung.

(a, b) Springfluten: Die höchsten Gezeiten treten auf, wenn Erde, Mond und Sonne ausgerichtet sind. (c) Nipptide: Die niedrigsten Gezeiten treten auf, wenn die Sonne bei steht zur Erde-Mond-Ausrichtung. Beachten Sie, dass diese Figur nicht maßstabsgetreu ist.

Gezeiten gibt es nicht nur auf der Erde, sondern in vielen astronomischen Systemen. Die extremsten Gezeiten treten dort auf, wo die Gravitationskraft am stärksten ist und sich am schnellsten ändert, beispielsweise in der Nähe von Schwarzen Löchern (siehe (Abbildung)). In unserer Galaxie wurden einige wahrscheinliche Kandidaten für Schwarze Löcher beobachtet. Diese haben Massen, die größer sind als die der Sonne, aber Durchmesser von nur wenigen Kilometern. Die Gezeitenkräfte in ihrer Nähe sind so groß, dass sie tatsächlich Materie von einem Begleitstern reißen können.

„Schwerelosigkeit“ und Mikrogravitation

Im Gegensatz zu der enormen Gravitationskraft in der Nähe von Schwarzen Löchern steht das scheinbare Gravitationsfeld, das Astronauten erfahren, die die Erde umkreisen. Wie wirkt sich „Schwerelosigkeit“ auf einen Astronauten aus, der monatelang im Orbit ist? Oder wie sieht es mit der Schwerelosigkeit auf das Pflanzenwachstum aus? Schwerelosigkeit bedeutet nicht, dass ein Astronaut nicht von der Gravitationskraft beeinflusst wird. Es gibt keine „Schwerelosigkeit“ in der Umlaufbahn eines Astronauten. Der Begriff bedeutet nur, dass sich der Astronaut im freien Fall befindet und mit der Erdbeschleunigung beschleunigt. Wenn ein Aufzugskabel reißt, befinden sich die Passagiere im freien Fall und erleben Schwerelosigkeit. Bei einigen Fahrgeschäften in Freizeitparks können Sie kurze Zeiträume der Schwerelosigkeit erleben.

Mikrogravitation bezieht sich auf eine Umgebung, in der die scheinbare Nettobeschleunigung eines Körpers im Vergleich zu der von der Erde an seiner Oberfläche erzeugten gering ist. Viele interessante Biologie- und Physikthemen wurden in den letzten drei Jahrzehnten in der Schwerelosigkeit untersucht. Von unmittelbarer Besorgnis sind die Auswirkungen auf Astronauten längerer Aufenthalte im Weltraum, wie beispielsweise auf der Internationalen Raumstation ISS. Forscher haben beobachtet, dass die Muskeln in dieser Umgebung verkümmern (verschlacken). Es kommt auch zu einem entsprechenden Verlust an Knochenmasse. Die Studie zur kardiovaskulären Anpassung an die Raumfahrt wird fortgesetzt. Auf der Erde ist der Blutdruck in den Füßen normalerweise höher als im Kopf, weil die höhere Blutsäule aufgrund der Schwerkraft eine nach unten gerichtete Kraft auf sie ausübt. Im Stehen befinden sich 70 % Ihres Blutes unter der Herzhöhe, während in horizontaler Position genau das Gegenteil der Fall ist. Welchen Unterschied hat das Fehlen dieser Druckdifferenz auf das Herz?

Einige Erkenntnisse der menschlichen Physiologie im Weltraum können für die Behandlung von Krankheiten auf der Erde von klinischer Bedeutung sein. Etwas negativ ist zu vermerken, dass die Raumfahrt das menschliche Immunsystem beeinflusst und die Besatzungsmitglieder möglicherweise anfälliger für Infektionskrankheiten macht. Im Weltraum geflogene Experimente haben auch gezeigt, dass einige Bakterien in der Schwerelosigkeit schneller wachsen als auf der Erde. Positiv ist jedoch zu vermerken, dass Studien darauf hindeuten, dass die mikrobielle Antibiotikaproduktion in Weltraumkulturen um den Faktor zwei zunehmen kann. Man hofft, diese Mechanismen verstehen zu können, damit vor Ort ähnliche Erfolge erzielt werden können. In einem anderen Bereich der physikalischen Weltraumforschung wurden anorganische Kristalle und Proteinkristalle im Weltraum gezüchtet, die eine viel höhere Qualität aufweisen als alle auf der Erde gezüchteten, sodass kristallographische Untersuchungen ihrer Struktur viel bessere Ergebnisse liefern können.

Pflanzen haben sich mit dem Stimulus der Schwerkraft und mit Schwerkraftsensoren entwickelt. Wurzeln wachsen nach unten und Triebe nach oben. Pflanzen könnten in der Lage sein, ein Lebenserhaltungssystem für Langzeitmissionen im Weltraum bereitzustellen, indem sie die Atmosphäre regenerieren, Wasser reinigen und Nahrung produzieren. Einige Studien haben gezeigt, dass Pflanzenwachstum und -entwicklung nicht durch die Schwerkraft beeinflusst werden, aber es besteht immer noch Unsicherheit über strukturelle Veränderungen bei Pflanzen, die in einer Mikrogravitationsumgebung angebaut werden.

Das Cavendish-Experiment: Damals und heute

Wie bereits erwähnt, ist die universelle Gravitationskonstante wird experimentell bestimmt. Diese Definition wurde erstmals 1798, mehr als 100 Jahre nachdem Newton sein universelles Gravitationsgesetz veröffentlicht hatte, von Henry Cavendish (1731–1810), einem englischen Wissenschaftler, genau gemacht. Die Messung von ist sehr grundlegend und wichtig, weil es die Stärke einer der vier Naturkräfte bestimmt. Cavendishs Experiment war sehr schwierig, da er die winzige Gravitationsanziehung zwischen zwei Massen normaler Größe (höchstens zehn Kilogramm) mit einer Apparatur wie der in (Abbildung) maß. Bemerkenswert ist sein Wert für weicht um weniger als 1% vom besten modernen Wert ab.

Eine wichtige Konsequenz des Wissens war, dass endlich ein genauer Wert für die Masse der Erde erhalten werden konnte. Dazu wurde die Erdbeschleunigung so genau wie möglich gemessen und dann die Masse der Erde berechnet aus der Beziehung gibt Newtons universelles Gravitationsgesetz

wo ist die Masse des Objekts, ist die Masse der Erde, und ist der Abstand zum Erdmittelpunkt (der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten des Objekts und der Erde). Siehe Abbildung). Die Masse des Objekts annulliert und hinterlässt eine Gleichung für :

Neuanordnen, um nach zu lösen ergibt

So kann berechnet werden, da alle Größen rechts, einschließlich des Erdradius , sind aus direkten Messungen bekannt. Wir werden in Satelliten und Keplers Gesetzen: Ein Argument für Einfachheit sehen, dass Wissen ermöglicht auch die Bestimmung astronomischer Massen. Interessanterweise ist von allen fundamentalen Konstanten in der Physik ist bei weitem am wenigsten bestimmt.

Das Cavendish-Experiment wird auch verwendet, um andere Aspekte der Schwerkraft zu erforschen. Eine der interessantesten Fragen ist, ob die Gravitationskraft sowohl von der Substanz als auch von der Masse abhängt – zum Beispiel ob ein Kilogramm Blei die gleiche Anziehungskraft ausübt wie ein Kilogramm Wasser. Ein ungarischer Wissenschaftler namens Roland von Eötvös leistete Anfang des 20. Jahrhunderts Pionierarbeit bei dieser Untersuchung. Er fand mit einer Genauigkeit von fünf Teilen pro Milliarde heraus, dass die Gravitationskraft nicht von der Substanz abhängt. Solche Experimente werden bis heute fortgesetzt und haben sich gegenüber den Messungen von Eötvös verbessert. Cavendish-artige Experimente wie die von Eric Adelberger und anderen an der University of Washington haben auch der Möglichkeit einer fünften Kraft starke Grenzen gesetzt und eine wichtige Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie bestätigt – dass die Gravitationsenergie zur Ruhemasse beiträgt. Dort wird in laufenden Messungen mit einer Torsionswaage und einer Parallelplatte (keine Kugeln, wie Cavendish verwendet) untersucht, wie das Newtonsche Gravitationsgesetz über Submillimeter-Abstände funktioniert. Weichen Gravitationseffekte auf dieser kleinen Skala vom Gesetz der inversen Quadrate ab? Bisher wurde keine Abweichung beobachtet.

Cavendish benutzte ein Gerät wie dieses, um die Gravitationsanziehung zwischen den beiden schwebenden Kugeln zu messen () und die beiden auf dem Ständer () durch Beobachten der in der Faser erzeugten Torsion (Verdrehung). Der Abstand zwischen den Massen kann variiert werden, um die Abhängigkeit der Kraft vom Abstand zu überprüfen. Moderne Experimente dieser Art erforschen weiterhin die Schwerkraft.

Abschnittszusammenfassung

  • Newtons universelles Gravitationsgesetz: Jedes Teilchen im Universum zieht jedes andere Teilchen mit einer Kraft entlang einer sie verbindenden Linie an. Die Kraft ist direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen. In Gleichungsform ist dies

wobei F der Betrag der Gravitationskraft ist. ist die Gravitationskonstante, gegeben durch .

Konzeptionelle Fragen

Fernwirkungen, wie dies bei der Schwerkraft der Fall ist, galten früher als unlogisch und damit unwahr. Was ist die ultimative Determinante der Wahrheit in der Physik, und warum wurde diese Aktion letztendlich akzeptiert?

Zwei Freunde unterhalten sich. Anna sagt, dass sich ein Satellit im Orbit im freien Fall befindet, weil der Satellit weiter in Richtung Erde fällt. Tom sagt, ein Satellit im Orbit befindet sich nicht im freien Fall, weil die Erdbeschleunigung nicht . Mit wem stimmst du zu und warum?

Zeichnen Sie ein Freikörperdiagramm für einen Satelliten auf einer elliptischen Umlaufbahn und zeigen Sie, warum seine Geschwindigkeit zunimmt, wenn er sich seinem Mutterkörper nähert und abnimmt, wenn er sich entfernt.

Newtons Bewegungs- und Gravitationsgesetze waren unter den ersten, die die zugrunde liegende Einfachheit und Einheit der Natur überzeugend demonstrierten. Seitdem wurden viele andere Beispiele entdeckt, und wir erwarten jetzt, in komplexen Situationen eine solche zugrunde liegende Ordnung zu finden. Gibt es Beweise dafür, dass eine solche Ordnung immer in neuen Erkundungen gefunden wird?

Problemübungen

(a) Berechnen Sie die Masse der Erde, wenn die Erdbeschleunigung am Nordpol gegeben ist: und der Radius der Erde beträgt 6371 km vom Mittelpunkt zum Pol.

(b) Vergleiche dies mit dem akzeptierten Wert von .

ein)

b) Dies ist identisch mit dem besten Wert zu drei signifikanten Stellen.

(a) Berechnen Sie die Größe der Schwerkraftbeschleunigung auf der Erdoberfläche aufgrund des Mondes.

(b) Berechnen Sie die Größe der Erdbeschleunigung aufgrund der Erdanziehungskraft aufgrund der Sonne.

(c) Nehmen Sie das Verhältnis der Beschleunigung des Mondes zu der der Sonne und kommentieren Sie, warum die Gezeiten trotz dieser Zahl hauptsächlich auf den Mond zurückzuführen sind.

(a) Wie groß ist die Erdbeschleunigung auf der Mondoberfläche?

(b) Auf der Marsoberfläche? Die Masse des Mars ist und sein Radius ist .

ein)

b)

(a) Berechnen Sie die Erdbeschleunigung auf der Sonnenoberfläche.

(b) Um welchen Faktor würde Ihr Gewicht zunehmen, wenn Sie auf der Sonne stehen könnten? (Machen Sie sich keine Sorgen, dass Sie es nicht können.)

Mond und Erde rotieren um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, der etwa 4700 km vom Erdmittelpunkt entfernt liegt. (Dies ist 1690 km unter der Oberfläche.)

(a) Berechnen Sie die Größe der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft des Mondes an diesem Punkt.

(b) Berechnen Sie die Größe der Zentripetalbeschleunigung des Erdmittelpunkts, wenn er sich einmal im Mondmonat um diesen Punkt dreht (etwa 27,3 d) und vergleichen Sie sie mit der in Teil (a) gefundenen Beschleunigung. Kommentieren Sie, ob sie gleich sind oder nicht und warum sie es sein sollten oder nicht.

ein)

b)

Die Werte sind nahezu identisch. Man würde erwarten, dass die Gravitationskraft der Zentripetalkraft im Kern des Systems entspricht.

Lösen Sie Teil (b) von (Abbildung) mit .

Astrologie, diese unwahrscheinliche und vage Pseudowissenschaft, macht viel aus der Position der Planeten im Moment der Geburt. Die einzige bekannte Kraft, die ein Planet auf die Erde ausübt, ist die Gravitation.

(a) Berechnen Sie die Schwere der Gravitationskraft, die ein 100 kg schwerer Vater bei der Geburt in 0,200 m Entfernung auf ein 4,20 kg schweres Baby ausübt (er hilft, also ist er nah am Kind).

(b) Berechnen Sie die Größe der Kraft auf das Baby aufgrund von Jupiter, wenn es sich in seiner nächsten Entfernung zur Erde befindet, einige Weg. Wie verhält sich die Kraft des Jupiter auf das Baby im Vergleich zur Kraft des Vaters auf das Baby? Auch andere Objekte im Raum und im Krankenhausgebäude üben ähnliche Anziehungskräfte aus. (Natürlich könnte eine unbekannte Kraft wirken, aber Wissenschaftler müssen zuerst davon überzeugt werden, dass es überhaupt einen Effekt gibt, geschweige denn, dass eine unbekannte Kraft ihn verursacht.)

ein)

b) ,

Die Existenz des Zwergplaneten Pluto wurde aufgrund von Unregelmäßigkeiten in der Umlaufbahn von Neptun vorgeschlagen. Pluto wurde anschließend in der Nähe seiner vorhergesagten Position entdeckt. Aber es scheint jetzt, dass die Entdeckung zufällig war, denn Pluto ist klein und die Unregelmäßigkeiten in der Umlaufbahn von Neptun waren nicht bekannt. Um zu veranschaulichen, dass Pluto einen geringen Einfluss auf die Umlaufbahn von Neptun hat, verglichen mit dem Neptun am nächsten gelegenen Planeten:

(a) Berechnen Sie die Erdbeschleunigung bei Neptun aufgrund von Pluto, wenn sie they auseinander, wie sie derzeit sind. Die Masse von Pluto ist .

(b) Berechnen Sie die Gravitationsbeschleunigung bei Neptun aufgrund von Uranus, derzeit etwa auseinander und vergleiche es mit dem aufgrund von Pluto. Die Masse von Uranus ist .

(a) Die Sonne umkreist die Milchstraße jeweils einmal , mit einer ungefähr kreisförmigen Bahnmittelung Lichtjahre im Radius. (Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in 1 Jahr zurücklegt.) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn.Unterstützt Ihr Ergebnis die Behauptung, dass sich auf der Sonne ein nahezu inertialer Bezugssystem befinden kann?

(b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn. Überrascht Sie die Antwort?

ein)

b)

Unangemessenes Ergebnis

Ein Berg, der 10,0 km von einem Menschen entfernt ist, übt auf ihn eine Anziehungskraft aus, die 2,00% seines Gewichts entspricht.

(a) Berechnen Sie die Masse des Berges.

(b) Vergleichen Sie die Masse des Berges mit der Masse der Erde.

(c) Was ist an diesen Ergebnissen unvernünftig?

(d) Welche Prämissen sind unvernünftig oder widersprüchlich? (Beachten Sie, dass genaue Gravitationsmessungen die Auswirkungen nahegelegener Berge und Variationen in der lokalen Geologie leicht erkennen können.)

ein)

b)

c) Die Masse des Berges und sein Anteil an der Erdmasse sind zu groß.

d) Die angenommene Gravitationskraft des Berges ist zu groß.

Glossar


13.4 Satellitenumlaufbahnen und Energie

Der Mond umkreist die Erde. Die Erde und die anderen Planeten umkreisen wiederum die Sonne. Der Raum direkt über unserer Atmosphäre ist mit künstlichen Satelliten im Orbit gefüllt. Wir untersuchen die einfachste dieser Umlaufbahnen, die Kreisbahn, um die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und Periode von Planeten und Satelliten in Bezug auf ihre Positionen und die Körper, die sie umkreisen, zu verstehen.

Kreisbahnen

Wie zu Beginn dieses Kapitels erwähnt, schlug Nicolaus Copernicus zuerst vor, dass die Erde und alle anderen Planeten die Sonne im Kreis umkreisen. Er stellte außerdem fest, dass die Umlaufzeiten mit der Entfernung von der Sonne zunahmen. Spätere Analysen von Kepler zeigten, dass diese Bahnen eigentlich Ellipsen sind, aber die Bahnen der meisten Planeten im Sonnensystem sind nahezu kreisförmig. Der Bahnabstand der Erde von der Sonne variiert nur um 2%. Die Ausnahme ist die exzentrische Umlaufbahn von Merkur, deren Bahnabstand um fast 40% variiert.

Bestimmung der Umlaufgeschwindigkeit und Umlaufzeit eines Satelliten ist für kreisförmige Umlaufbahnen viel einfacher, daher machen wir diese Annahme in der folgenden Ableitung. Wie wir im vorherigen Abschnitt beschrieben haben, ist ein Objekt mit negativer Gesamtenergie gravitativ gebunden und befindet sich daher in einer Umlaufbahn. Unsere Berechnung für den Spezialfall der Kreisbahnen wird dies bestätigen. Wir konzentrieren uns auf Objekte, die die Erde umkreisen, aber unsere Ergebnisse können für andere Fälle verallgemeinert werden.

Betrachten Sie einen Satelliten mit Masse ich in einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde im Abstand r vom Erdmittelpunkt ((Abbildung)). Die Zentripetalbeschleunigung ist zum Erdmittelpunkt gerichtet. Die Schwerkraft der Erde ist die einzige wirkende Kraft, daher gibt das zweite Newtonsche Gesetz

Abbildung 13.12 Ein Satellit der Masse m kreist im Radius r vom Erdmittelpunkt. Die Gravitationskraft liefert die Zentripetalbeschleunigung.

Wir lösen nach der Geschwindigkeit der Umlaufbahn auf und stellen fest, dass ich bricht ab, um die Umlaufgeschwindigkeit zu erhalten

In Übereinstimmung mit dem, was wir in (Abbildung) und (Abbildung) gesehen haben, ich erscheint nicht in (Abbildung). Der Wert von G, die Fluchtgeschwindigkeit und die Umlaufgeschwindigkeit hängen nur von der Entfernung vom Zentrum des Planeten ab, und nicht auf die Masse des Objekts, auf das es einwirkt. Beachten Sie die Ähnlichkeit in den Gleichungen für

. Die Fluchtgeschwindigkeit ist genau

mal größer, etwa 40%, als die Bahngeschwindigkeit. Dieser Vergleich wurde in (Abbildung) vermerkt und gilt für einen Satelliten in jedem Radius.

Um die Periode einer kreisförmigen Umlaufbahn zu bestimmen, beachten wir, dass der Satellit den Umfang der Umlaufbahn zurücklegt

in einer Periode T. Mit der Definition von Geschwindigkeit haben wir

. Wir setzen dies in (Abbildung) ein und ordnen um, um zu erhalten

Wir sehen im nächsten Abschnitt, dass dies das dritte Keplersche Gesetz für den Fall von Kreisbahnen darstellt. Es bestätigt auch die Beobachtung von Kopernikus, dass die Periode eines Planeten mit zunehmendem Abstand von der Sonne zunimmt. Wir müssen nur ersetzen

Wir schließen diesen Abschnitt mit einer Rückkehr zu unserer früheren Diskussion über Astronauten im Orbit, die schwerelos erscheinen, als ob sie frei zur Erde fallen würden. Tatsächlich befinden sie sich im freien Fall. Betrachten Sie die in (Abbildung) gezeigten Flugbahnen. (Diese Figur basiert auf einer Zeichnung von Newton in seinem Principia und erschien auch früher in Motion in Two and Three Dimensions.) Alle gezeigten Flugbahnen, die auf die Erdoberfläche treffen, haben weniger als die Umlaufgeschwindigkeit. Die Astronauten würden auf den gezeigten nicht kreisförmigen Bahnen in Richtung Erde beschleunigen und sich schwerelos fühlen. (Astronauten trainieren tatsächlich für das Leben im Orbit, indem sie in Flugzeugen fahren, die jeweils 30 Sekunden lang im freien Fall fallen.) Aber mit der richtigen Umlaufgeschwindigkeit krümmt sich die Erdoberfläche von ihnen mit genau der gleichen Geschwindigkeit, wie sie auf die Erde fallen. Der gleiche Abstand von der Oberfläche ist natürlich der Punkt einer Kreisbahn.

Abbildung 13.13 Eine Kreisbahn ist das Ergebnis der Wahl einer Tangentialgeschwindigkeit, bei der sich die Erdoberfläche mit der gleichen Geschwindigkeit wegkrümmt, wie das Objekt in Richtung Erde fällt.

Wir können unsere Diskussion über Satelliten im Orbit in der folgenden Problemlösungsstrategie zusammenfassen.

Problemlösungsstrategie: Bahnen und Energieerhaltung

  1. Bestimmen Sie, ob die Gleichungen für Geschwindigkeit, Energie oder Periode für das vorliegende Problem gültig sind. Wenn nicht, beginnen Sie mit den ersten Prinzipien, die wir verwendet haben, um diese Gleichungen abzuleiten.
  2. Um mit den ersten Prinzipien zu beginnen, zeichnen Sie ein Freikörperdiagramm und wenden Sie das Newtonsche Gravitationsgesetz und das zweite Newtonsche Gesetz an.
  3. Wenden Sie zusammen mit den Definitionen für Geschwindigkeit und Energie das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz auf die interessierenden Körper an.

Beispiel

Die Internationale Raumstation

Bestimmen Sie die Umlaufgeschwindigkeit und die Periode für die Internationale Raumstation (ISS).

Strategie

über der Erdoberfläche ist der Radius, mit dem es umkreist,

. Wir verwenden (Abbildung) und (Abbildung), um die Umlaufgeschwindigkeit bzw. die Periode zu bestimmen.

Lösung

Unter Verwendung von (Abbildung) ist die Bahngeschwindigkeit

das sind ungefähr 17.000 Meilen pro Stunde. Mit (Abbildung) ist die Periode

das sind etwas mehr als 90 Minuten.

Bedeutung

Die ISS befindet sich in einer niedrigen Erdumlaufbahn (LEO). Fast alle Satelliten befinden sich in LEO, einschließlich der meisten Wettersatelliten. GPS-Satelliten in einer Entfernung von etwa 20.000 km gelten als mittlere Erdumlaufbahn. Je höher die Umlaufbahn, desto mehr Energie wird benötigt, um sie dorthin zu bringen und desto mehr Energie wird benötigt, um sie für Reparaturen zu erreichen. Von besonderem Interesse sind die Satelliten im geosynchronen Orbit. Alle fest installierten Satellitenschüsseln am Boden, die zum Himmel zeigen, wie z. B. Fernsehempfangsschüsseln, sind auf geosynchrone Satelliten gerichtet. Diese Satelliten werden in der genauen Entfernung und knapp über dem Äquator platziert, so dass ihre Umlaufbahn 1 Tag beträgt. Sie bleiben in einer festen Position relativ zur Erdoberfläche.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Um welchen Faktor muss sich der Radius ändern, um die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten um die Hälfte zu reduzieren? Um welchen Faktor würde sich die Periode ändern?

[reveal-answer q=”fs-id1168327873289″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

In (Abbildung) erscheint der Radius im Nenner innerhalb der Quadratwurzel. Der Radius muss also um den Faktor 4 zunehmen, um die Bahngeschwindigkeit um den Faktor 2 zu verringern. Auch der Umfang der Bahn hat sich um diesen Faktor 4 vergrößert, also muss bei halber Bahngeschwindigkeit die Periode das 8-fache betragen länger. Das ist auch direkt aus (Abbildung) ersichtlich.

Beispiel

Bestimmung der Masse der Erde

Bestimmen Sie die Masse der Erde aus der Umlaufbahn des Mondes.

Strategie

, und ersetzen die Periode und den Radius der Umlaufbahn. Der Radius und die Periode der Mondbahn wurden vor Tausenden von Jahren mit angemessener Genauigkeit gemessen. Nach den astronomischen Daten in Anhang D beträgt die Mondperiode 27,3 Tage

, und der durchschnittlich Die Entfernung zwischen den Mittelpunkten der Erde und dem Mond beträgt 384.000 km.

Lösung

Bedeutung

Vergleichen Sie dies mit dem Wert von

die wir in (Abbildung) erhalten haben, indem wir den Wert von G an der Erdoberfläche. Obwohl diese Werte sehr nahe beieinander liegen (

0,8% verwenden beide Berechnungen Durchschnittswerte. Der Wert von G variiert vom Äquator zu den Polen um etwa 0,5%. Aber der Mond hat eine elliptische Bahn, in der der Wert von r variiert knapp über 10 %. (Die scheinbare Größe des Vollmonds variiert tatsächlich um diesen Betrag, aber es ist schwierig, dies durch zufällige Beobachtung zu bemerken, da die Zeit von einem Extrem zum anderen viele Monate beträgt.)

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Es gibt noch eine weitere Überlegung zu dieser letzten Berechnung von

. Wir haben abgeleitet (Abbildung) unter der Annahme, dass der Satellit um das Zentrum des astronomischen Körpers mit dem gleichen Radius kreist, der im Ausdruck für die Gravitationskraft zwischen ihnen verwendet wird. Welche Annahme wird gemacht, um dies zu rechtfertigen? Die Erde ist etwa 81-mal massereicher als der Mond. Umkreist der Mond den genauen Erdmittelpunkt?

[reveal-answer q=”fs-id1168328196787″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Die Annahme ist, dass das umkreisende Objekt viel weniger massiv ist als der Körper, den es umkreist. Dies ist im Fall von Mond und Erde nicht wirklich gerechtfertigt. Sowohl die Erde als auch der Mond kreisen um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt. Wir gehen dieses Problem im nächsten Beispiel an.

Beispiel

Galaktische Geschwindigkeit und Periode

Sehen wir uns das noch einmal an (Abbildung). Angenommen, die Milchstraße und die Andromeda-Galaxie befinden sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn umeinander. Wie groß wäre die Geschwindigkeit der einzelnen und wie lang wäre ihre Umlaufzeit? Angenommen, die Masse von jedem beträgt 800 Milliarden Sonnenmassen und ihre Zentren sind 2,5 Millionen Lichtjahre voneinander entfernt.

Strategie

Wir können (Abbildung) und (Abbildung) nicht direkt verwenden, da sie abgeleitet wurden unter der Annahme, dass das Objekt der Masse ich kreiste um das Zentrum eines viel größeren Masseplaneten M. Wir haben die Gravitationskraft in (Abbildung) mit dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation bestimmt. Wir können das zweite Newtonsche Gesetz verwenden, das auf die Zentripetalbeschleunigung einer der beiden Galaxien angewendet wird, um ihre Tangentialgeschwindigkeit zu bestimmen. Aus diesem Ergebnis können wir die Umlaufdauer bestimmen.

Lösung

In (Abbildung) fanden wir die Kraft zwischen den Galaxien zu

und dass die Beschleunigung jeder Galaxie

Da sich die Galaxien auf einer Kreisbahn befinden, haben sie Zentripetalbeschleunigung. Wenn wir den Einfluss anderer Galaxien ignorieren, bleiben die Massenschwerpunkte der beiden Galaxien fest, wie wir in Linear Momentum and Collisions and Fixed-Axis Rotation gelernt haben. Daher müssen die Galaxien um diesen gemeinsamen Massenschwerpunkt kreisen. Bei gleichen Massen liegt der Schwerpunkt genau auf halbem Weg dazwischen. Also der Radius der Umlaufbahn,

, entspricht nicht der Entfernung zwischen den Galaxien, sondern der Hälfte dieses Wertes oder 1,25 Millionen Lichtjahren. Diese beiden unterschiedlichen Werte sind in (Abbildung) dargestellt.

Abbildung 13.14 Der Abstand zwischen zwei Galaxien, der die Gravitationskraft zwischen ihnen bestimmt, ist r und unterscheidet sich von

, das ist der Radius der Umlaufbahn für jeden. Für gleiche Massen,

. (Kredit: Änderung der Arbeit von Marc Van Norden)

Mit dem Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung haben wir

Nach der Bahngeschwindigkeit auflösen, haben wir

. Schließlich können wir die Periode der Umlaufbahn direkt aus

, um herauszufinden, dass die Periode . ist

Bedeutung

Die Orbitalgeschwindigkeit von 47 km/s mag auf den ersten Blick hoch erscheinen. Aber diese Geschwindigkeit ist vergleichbar mit der Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne, die wir in einem früheren Beispiel berechnet haben. Um noch mehr Perspektiven zu geben, ist dieser Zeitraum fast viermal länger als die Zeit, die das Universum existiert hat.

Tatsächlich ist die gegenwärtige relative Bewegung dieser beiden Galaxien so, dass sie voraussichtlich in etwa 4 Milliarden Jahren kollidieren werden. Obwohl die Dichte der Sterne in jeder Galaxie eine direkte Kollision zweier Sterne unwahrscheinlich macht, wird eine solche Kollision dramatische Auswirkungen auf die Form der Galaxien haben. Beispiele für solche Kollisionen sind in der Astronomie gut bekannt.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Galaxien sind keine einzelnen Objekte. Wie verhält sich die Gravitationskraft einer Galaxie, die auf die „näheren“ Sterne der anderen Galaxie ausgeübt wird, im Vergleich zu den weiter entfernten? Welche Auswirkungen hätte dies auf die Form der Galaxien selbst?

[reveal-answer q=”fs-id1168327940994″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Die Sterne im „Inneren“ jeder Galaxie sind näher an der anderen Galaxie und spüren daher eine größere Anziehungskraft als die Sterne außerhalb. Folglich haben sie eine größere Beschleunigung. Selbst ohne diesen Kraftunterschied würden die inneren Sterne mit einem kleineren Radius umkreisen, und daher würde sich eine Verlängerung oder Streckung jeder Galaxie entwickeln. Die Kraftdifferenz verstärkt diesen Effekt nur.

Weitere Informationen zu kollidierenden Galaxien finden Sie auf der Seite Sloan Digital Sky Survey.

Energie in Kreisbahnen

In Gravitational Potential Energy and Total Energy argumentierten wir, dass Objekte gravitativ gebunden sind, wenn ihre Gesamtenergie negativ ist. Das Argument basierte auf dem einfachen Fall, in dem die Geschwindigkeit direkt vom Planeten weg oder auf ihn zu gerichtet war. Wir untersuchen nun die Gesamtenergie für eine Kreisbahn und zeigen, dass die Gesamtenergie tatsächlich negativ ist. Wie zuvor beginnen wir mit dem zweiten Newtonschen Gesetz, das auf eine Kreisbahn angewendet wird:

Im letzten Schritt multiplizieren wir mit r auf jeder Seite. Die rechte Seite hat nur die doppelte kinetische Energie, also haben wir

Die Gesamtenergie ist die Summe der kinetischen und potentiellen Energien, unser Endergebnis ist also

Wir können sehen, dass die Gesamtenergie negativ ist, mit der gleichen Größe wie die kinetische Energie. Bei Kreisbahnen beträgt der Betrag der kinetischen Energie genau die Hälfte des Betrags der potentiellen Energie. Bemerkenswerterweise gilt dieses Ergebnis für zwei beliebige Massen auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt im Abstand r von einander. Der Beweis bleibt als Übung übrig. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass für elliptische Bahnen ein ganz ähnlicher Ausdruck gilt.

Beispiel

Erforderliche Energie für den Orbit

In (Abbildung) haben wir die Energie berechnet, die erforderlich ist, um die 9000 kg einfach anzuheben Sojus Fahrzeug von der Erdoberfläche bis zur Höhe der ISS, 400 km über der Oberfläche. Mit anderen Worten, wir fanden es Veränderung in potentieller Energie. Wir fragen nun, welche Gesamtenergieänderung im Sojus Fahrzeug benötigt wird, um es von der Erdoberfläche zu holen und für ein Rendezvous mit der ISS in die Umlaufbahn zu bringen ((Abbildung))? Wie viel von dieser Gesamtenergie ist kinetische Energie?

Abbildung 13.15 Die Sojus im Rendezvous mit der ISS. Beachten Sie, dass dieses Diagramm nicht maßstabsgetreu ist, da die Sojus im Vergleich zur ISS sehr klein ist und ihre Umlaufbahn viel näher an der Erde liegt. (Kredit: Modifikation von Werken durch die NASA)

Strategie

Die benötigte Energie ist die Differenz der SojusGesamtenergie in der Umlaufbahn und die an der Erdoberfläche. Mit (Abbildung) können wir die Gesamtenergie der Sojus auf der ISS-Umlaufbahn. Aber die Gesamtenergie an der Oberfläche ist einfach die potentielle Energie, da sie von Ruhe ausgeht. [Beachten Sie, dass wir unterlassen Sie verwenden (Abbildung) an der Oberfläche, da wir uns nicht auf der Erdumlaufbahn befinden.] Die kinetische Energie kann dann aus der Differenz der Gesamtenergieänderung und der Änderung der potentiellen Energie in (Abbildung) ermittelt werden. Alternativ können wir (Abbildung) verwenden, um zu finden

und berechne daraus direkt die kinetische Energie. Die benötigte Gesamtenergie ist dann die kinetische Energie plus die Änderung der potentiellen Energie in (Abbildung).

Lösung

Aus (Abbildung) ergibt sich die Gesamtenergie der Sojus in der gleichen Umlaufbahn wie die ISS

Die Gesamtenergie an der Erdoberfläche beträgt

. Um die kinetische Energie zu erhalten, subtrahieren wir die Änderung der potentiellen Energie von (Abbildung),

. Wie bereits erwähnt, beträgt die kinetische Energie einer Kreisbahn immer die Hälfte der potentiellen Energie und gleich der Größe der Gesamtenergie. Unser Ergebnis bestätigt dies.

Der zweite Ansatz besteht darin, (Abbildung) zu verwenden, um die Umlaufgeschwindigkeit des Sojus, die wir für die ISS in (Abbildung) gemacht haben.

Die kinetische Energie des of Sojus im Orbit ist

das gleiche wie bei der vorherigen Methode. Die Gesamtenergie ist gerade

Bedeutung

Die kinetische Energie des Sojus ist fast das Achtfache der Änderung seiner potentiellen Energie oder 90% der Gesamtenergie, die für das Rendezvous mit der ISS benötigt wird. Und es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass diese Energie nur die Energie darstellt, die dem . gegeben werden muss Sojus. Bei unserer gegenwärtigen Raketentechnologie übersteigt die Masse des Antriebssystems (des Raketentreibstoffs, seines Behälters und des Verbrennungssystems) die der Nutzlast bei weitem, und dieser Masse muss eine enorme Menge an kinetischer Energie zugeführt werden. Die tatsächlichen Energiekosten sind also ein Vielfaches der Energieänderung der Nutzlast selbst.

Zusammenfassung

  • Bahngeschwindigkeiten werden durch die Masse des umkreisten Körpers und den Abstand vom Zentrum dieses Körpers bestimmt und nicht durch die Masse eines viel kleineren umkreisenden Objekts.
  • Die Umlaufdauer ist ebenfalls unabhängig von der Masse des umkreisenden Objekts.
  • Körper vergleichbarer Massen kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt und ihre Geschwindigkeiten und Perioden sollten aus Newtons zweitem Gesetz und Gravitationsgesetz bestimmt werden.

Konzeptionelle Fragen

Ein Student argumentiert, dass sich ein Satellit im Orbit im freien Fall befindet, weil der Satellit immer wieder in Richtung Erde fällt. Ein anderer sagt, ein Satellit im Orbit befindet sich nicht im freien Fall, weil die Erdbeschleunigung nicht

. Mit wem stimmen Sie zu und warum?

Viele Satelliten befinden sich in geosynchronen Umlaufbahnen. Was ist das Besondere an diesen Umlaufbahnen? Wie viele dieser Satelliten würden für ein globales Kommunikationsnetz benötigt?

[reveal-answer q=”fs-id1168328181926″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Die Umlaufdauer muss 24 Stunden betragen. Darüber hinaus muss sich der Satellit jedoch in einer äquatorialen Umlaufbahn befinden und in dieselbe Richtung wie die Erdrotation kreisen. Alle drei Kriterien müssen erfüllt sein, damit der Satellit in einer Position relativ zur Erdoberfläche bleibt. Mindestens drei Satelliten werden benötigt, da zwei auf gegenüberliegenden Seiten der Erde nicht miteinander kommunizieren können. (Dies ist technisch nicht richtig, da eine Wellenlänge gewählt werden könnte, die eine ausreichende Beugung bietet. Dies wäre jedoch völlig unpraktisch.)

Probleme

Wenn sich ein Planet mit der 1,5-fachen Erdmasse in der Erdumlaufbahn bewegen würde, wie groß wäre seine Periode?

Zwei Planeten auf Kreisbahnen um einen Stern haben Geschwindigkeiten von v und 2v. (a) Wie ist das Verhältnis der Bahnradien der Planeten? (b) Wie ist das Verhältnis ihrer Perioden?

[reveal-answer q=”fs-id1168328287437″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Unter Verwendung des durchschnittlichen Abstands der Erde von der Sonne und der Umlaufperiode der Erde (a) finden Sie die Zentripetalbeschleunigung der Erde bei ihrer Bewegung um die Sonne. (b) Vergleichen Sie diesen Wert mit der Zentripetalbeschleunigung am Äquator aufgrund der Erdrotation.

Welchen Orbitalradius hat ein Erdsatellit mit einer Periode von 1,00 h? (b) Was ist an diesem Ergebnis unvernünftig?

[reveal-answer q=�″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]a.

b. Das ist weniger als der Radius der Erde.[/hidden-answer]

Berechnen Sie die Masse der Sonne basierend auf Daten für die Erdumlaufbahn und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit der tatsächlichen Masse der Sonne.

Bestimmen Sie die Masse des Jupiter anhand der Tatsache, dass Io, sein innerster Mond, einen durchschnittlichen Umlaufradius von 421.700 km und eine Periode von 1,77 Tagen hat.

[reveal-answer q=”fs-id1168328288413″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Astronomische Beobachtungen unserer Milchstraße weisen auf eine Masse von etwa mass

Sonnenmassen. Ein Stern, der um die Peripherie der Galaxie kreist, ist ungefähr

Lichtjahre von seinem Zentrum entfernt. (a) Wie lang sollte die Umlaufzeit dieses Sterns sein? (b) Wenn seine Periode ist

Wie groß ist stattdessen die Masse der Galaxie? Solche Berechnungen werden verwendet, um die Existenz anderer Materie zu implizieren, wie zum Beispiel ein sehr massereiches Schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße.

(a) Um zu verhindern, dass ein kleiner Satellit auf einen nahen Asteroiden abdriftet, wird er mit einer Periode von 3,02 Stunden und einem Radius von 2,0 km in eine Umlaufbahn gebracht. Welche Masse hat der Asteroid? (b) Erscheint diese Masse für die Größe der Umlaufbahn angemessen?

[reveal-answer q=”fs-id1168327988294″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

b. Der Satellit muss sich außerhalb des Radius des Asteroiden befinden, kann also nicht größer sein. Wenn es diese Größe hätte, wäre seine Dichte ungefähr

. Dies liegt knapp über dem von Wasser, daher scheint dies ganz vernünftig zu sein.
[/versteckte-Antwort]

Mond und Erde rotieren um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, der etwa 4700 km vom Erdmittelpunkt entfernt liegt. (Dies ist 1690 km unter der Oberfläche.) (a) Berechnen Sie die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft des Mondes an diesem Punkt. (b) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung des Erdmittelpunkts, wenn er sich einmal im Mondmonat um diesen Punkt dreht (etwa 27,3 d) und vergleichen Sie sie mit der in Teil (a) gefundenen Beschleunigung. Kommentieren Sie, ob sie gleich sind oder nicht und warum sie es sein sollten oder nicht.

Die Sonne umkreist die Milchstraße jeweils einmal

, mit einer ungefähr kreisförmigen Bahn mit einem durchschnittlichen Radius von

Lichtjahre. (Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn. Unterstützt Ihr Ergebnis die Behauptung, dass sich auf der Sonne ein nahezu inertialer Bezugssystem befinden kann? (b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn. Überrascht Sie die Antwort?

[reveal-answer q=”fs-id1168328321712″]Lösung anzeigen[/reveal-answer]

Ja, die Zentripetalbeschleunigung ist so gering, dass sie die Behauptung unterstützt, dass sich auf der Sonne ein nahezu Trägheitsbezugssystem befinden kann. b.

Ein geosynchroner Erdsatellit hat eine Umlaufzeit von genau 1 Tag. Solche Umlaufbahnen sind nützlich für die Kommunikation und Wetterbeobachtung, da der Satellit über dem gleichen Punkt auf der Erde bleibt (vorausgesetzt, er kreist in der Äquatorebene in der gleichen Richtung wie die Erdrotation). Berechnen Sie den Radius einer solchen Umlaufbahn basierend auf den Daten für die Erde in Astronomical Data.

Glossar

orbital Zeitraum

Zeit, die ein Satellit für eine Umlaufbahn benötigt Umlaufgeschwindigkeit Geschwindigkeit eines Satelliten auf einer kreisförmigen Umlaufbahn kann sie auch für die Momentangeschwindigkeit für nicht kreisförmige Umlaufbahnen verwendet werden, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist


Das Cavendish-Experiment: Damals und heute

Wie bereits erwähnt, wird die universelle Gravitationskonstante experimentell bestimmt. Diese Definition wurde erstmals 1798, mehr als 100 Jahre nachdem Newton sein universelles Gravitationsgesetz veröffentlicht hatte, von Henry Cavendish (1731–1810), einem englischen Wissenschaftler, genau gemacht. Die Messung von ist sehr einfach und wichtig, da sie die Stärke einer der vier Naturkräfte bestimmt. Cavendishs Experiment war sehr schwierig, da er die winzige Anziehungskraft zwischen zwei Massen normaler Größe (höchstens zehn Kilogramm) mit einer Vorrichtung wie der in Abbildung 9 maß. Bemerkenswert ist, dass sein Wert für weniger als 1% vom besten modernen Wert abweicht .

Eine wichtige Konsequenz des Wissens war, dass endlich ein genauer Wert für die Masse der Erde erhalten werden konnte. Dies geschah, indem die Erdbeschleunigung so genau wie möglich gemessen wurde und dann die Masse der Erde aus der Beziehung berechnet wurde, die Newtons universelles Gravitationsgesetz liefert

wobei die Masse des Objekts, die Masse der Erde und die Entfernung zum Erdmittelpunkt (der Abstand zwischen den Massenschwerpunkten des Objekts und der Erde) ist. Siehe Abbildung 2. Die Masse des Objekts hebt sich auf und hinterlässt eine Gleichung für

Umordnung, um nach Renditen aufzulösen

Kann also berechnet werden, da alle Größen rechts, einschließlich des Erdradius, aus direkten Messungen bekannt sind. Wir werden in Kapitel 6.6 Satelliten und Keplersche Gesetze: Ein Argument für Einfachheit sehen, dass Wissen auch die Bestimmung astronomischer Massen ermöglicht. Interessanterweise ist von allen fundamentalen Konstanten in der Physik die bei weitem am wenigsten gut bestimmt.

Das Cavendish-Experiment wird auch verwendet, um andere Aspekte der Schwerkraft zu erforschen. Eine der interessantesten Fragen ist, ob die Gravitationskraft sowohl von der Substanz als auch von der Masse abhängt – zum Beispiel ob ein Kilogramm Blei die gleiche Anziehungskraft ausübt wie ein Kilogramm Wasser. Ein ungarischer Wissenschaftler namens Roland von Eötvös leistete Anfang des 20. Jahrhunderts Pionierarbeit bei dieser Untersuchung. Er fand mit einer Genauigkeit von fünf Teilen pro Milliarde heraus, dass die Gravitationskraft nicht von der Substanz abhängt. Solche Experimente werden bis heute fortgesetzt und haben sich gegenüber den Messungen von Eötvös verbessert. Cavendish-artige Experimente wie die von Eric Adelberger und anderen an der University of Washington haben auch der Möglichkeit einer fünften Kraft starke Grenzen gesetzt und eine wichtige Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie bestätigt – dass die Gravitationsenergie zur Ruhemasse beiträgt. Dort wird in laufenden Messungen mit einer Torsionswaage und einer Parallelplatte (keine Kugeln, wie Cavendish verwendet) untersucht, wie das Newtonsche Gravitationsgesetz über Submillimeter-Abstände funktioniert. Weichen Gravitationseffekte auf dieser kleinen Skala vom Gesetz der inversen Quadrate ab? Bisher wurde keine Abweichung beobachtet.

. Abbildung 9. Cavendish benutzte ein Gerät wie dieses, um die Gravitationsanziehung zwischen den beiden schwebenden Kugeln zu messen (ich) und die beiden auf dem stand (M) durch Beobachten des Ausmaßes der in der Faser erzeugten Torsion (Verdrehung). Der Abstand zwischen den Massen kann variiert werden, um die Abhängigkeit der Kraft vom Abstand zu überprüfen. Moderne Experimente dieser Art erforschen weiterhin die Schwerkraft.


Warum bringt das vom Mond auf die Erde ausgeübte Drehmoment den Mond dazu, seine Umlaufbahn zu vergrößern? - Astronomie

Dieses einfache Bild wird leider durch die Schwierigkeit verkompliziert, einen geeigneten Äquator und Tagundnachtgleiche zu definieren. Ein Problem besteht darin, dass die scheinbare Bewegung der Sonne aufgrund der Elliptizität der Erdbahn und ihrer ständigen Störung durch Mond und Planeten nicht vollständig regelmäßig ist. Dies wird bewältigt, indem die Bewegung in (i) eine glatte und stetige mittlere Sonne und (ii) eine Reihe von periodischen Korrekturen und Störungen unterteilt wird, wobei nur die erstere an der Festlegung von Referenzrahmen und Zeitskalen beteiligt ist. Ein zweites, weitaus größeres Problem besteht darin, dass sich sowohl der Himmelsäquator als auch die Ekliptik in Bezug auf die Sterne bewegen. Diese Bewegungen entstehen aufgrund der Gravitationswechselwirkungen zwischen der Erde und den anderen Körpern des Sonnensystems.

Der bei weitem größte Effekt ist die sogenannte „Präzession der Tagundnachtgleichen“, bei der die Rotationsachse der Erde einen auf dem ekliptikalen Pol zentrierten Kegel überstreicht und in etwa 26.000 Jahren eine Umdrehung vollzieht. Die Ursache der Bewegung ist das Drehmoment, das von Sonne und Mond auf die verzerrte und sich drehende Erde ausgeübt wird. Betrachten Sie die Wirkung der Sonne allein bei oder nahe der nördlichen Sommersonnenwende. Die Sonne 'sieht' die Spitze (Nordpol) der Erde zu ihr geneigt (um etwa , die Schiefe der Ekliptik) und sieht den näheren Teil der äquatorialen Ausbuchtung der Erde unterhalb der Mitte und den weiteren Teil oberhalb der Mitte. Obwohl sich die Erde im freien Fall befindet, ist die Gravitationskraft im näheren Teil der äquatorialen Ausbuchtung größer als im weiteren Teil, so dass ein Nettodrehmoment wirkt, als ob es die Neigung beseitigen würde. Sechs Monate später passiert das Gleiche in umgekehrter Richtung, nur dass das Drehmoment immer noch versucht, die Neigung zu beseitigen. Dazwischen (bei den Tagundnachtgleichen) schrumpft das Drehmoment auf Null. Ein auf einen rotierenden Körper wirkendes Drehmoment wird gyroskopisch in eine Präzessionsbewegung der Rotationsachse im rechten Winkel zum Drehmoment übersetzt, und dies geschieht auf der Erde. Die Bewegung variiert im Laufe des Jahres, durchläuft zwei Maxima, wirkt aber immer in die gleiche Richtung. Der Mond erzeugt den gleichen Effekt und trägt zur Präzession bei, die zweimal im Monat ihren Höhepunkt erreicht. Die Nähe des Mondes zur Erde gleicht seine geringere Masse und Anziehungskraft mehr als aus, so dass er tatsächlich den größten Teil des Präzessionseffekts beisteuert.

Die komplexen Wechselwirkungen zwischen den drei Körpern erzeugen eine eher wackelige als vollkommen glatte Präzessionsbewegung. Die Hauptkomponente von 26.000 Jahren ist jedoch so groß angelegt, dass sie die verbleibenden Laufzeiten in den Schatten stellt, von denen die größte nur eine Amplitude und eine Dauer von etwa 18,6 Jahren hat. Dieser Maßstabsunterschied macht es bequem, diese beiden Komponenten der Bewegung getrennt zu behandeln. Der wichtigste 26.000-Jahres-Effekt wird als Mond-Solar-Präzession bezeichnet, die kleineren, schnelleren, periodischen Terme werden als Nutation bezeichnet.

Beachten Sie, dass Präzession und Nutation einfach unterschiedliche Frequenzkomponenten desselben physikalischen Effekts sind. Es ist ein weit verbreitetes Missverständnis, dass die Präzession von der Sonne und die Nutation vom Mond verursacht wird. Tatsächlich ist der Mond für zwei Drittel der Präzession verantwortlich, und obwohl viele der komplexen Details der Nutation die Feinheiten der Mondbahn widerspiegeln, gibt es dennoch wichtige Sonnenterme in der Nutation.

Zusätzlich und ganz unabhängig vom Präzessions-Nutation-Effekt ist die Umlaufbahn des Erde-Mond-Systems aufgrund der Anziehungskraft der Planeten nicht in ihrer Orientierung festgelegt. Diese langsame (etwa pro Jahr) säkulare Rotation der Ekliptik um einen sich langsam bewegenden Durchmesser wird verwirrenderweise als Planetenpräzession bezeichnet und wird zusammen mit der Mond-Sonnen-Präzession in die allgemeine Präzession aufgenommen. Äquator und Ekliptik, die von der allgemeinen Präzession beeinflusst werden, definieren die verschiedenen "mittleren" Bezugssysteme.

Die Modelle für Präzession und Nutation stammen aus einer Kombination von Beobachtung und Theorie und unterliegen einer ständigen Verfeinerung. Insbesondere Nutationsmodelle haben einen hohen Grad an Ausgereiftheit erreicht, indem sie Dinge wie die Starrheit der Erde und die Auswirkungen der Planeten berücksichtigen ), einige so klein wie .

Copyright © 2003 Rat für das Zentrallabor der Forschungsräte


PROTOKOLL

OGDEN ASTRONOMISCHE GESELLSCHAFT

10. April 1997

TDie reguläre Sitzung wurde um 19.30 Uhr unter der Leitung von Präsident Steve Peterson eröffnet.

Die Starparty von Barnes and Noble wurde zweimal ausgewaschen. Keine Pläne für eine Verschiebung.

Wegen des schlechten Wetters, aber des großen Interesses ist für den 26. April eine weitere Veranstaltung auf Antelope Island geplant. Folgen Sie den Schildern zur White Rock Bay.

John braucht Hilfe für das Finale des Viertelfinals Mi. Night Star Party im W.S.U. Ankunft bis 20:30 Uhr.

Elgie Mills und Jim Seargeant zeigten die neuesten Ergebnisse ihrer CCD- und Filmfotografie. Einige unglaubliche Bilder des Kometen wurden gezeigt.

Planetariumsassistent Jarett Bartholomew leitete "Voyage to the Planets".

Sitzung um 20:40 Uhr unterbrochen. 29. August 1997"


13 Kapitelrückblick

Fernwirkungen, wie dies bei der Schwerkraft der Fall ist, galten früher als unlogisch und damit unwahr. Was ist die ultimative Determinante der Wahrheit in der Wissenschaft, und warum wurde diese Aktion aus der Ferne letztendlich akzeptiert?

Im Gesetz der universellen Gravitation ging Newton davon aus, dass die Kraft proportional zum Produkt der beiden Massen ist (

m1m²). Während alle wissenschaftlichen Vermutungen experimentell überprüft werden müssen, können Sie Argumente dafür liefern, warum dies so sein muss? (Sie können einfache Beispiele betrachten, bei denen jede andere Form zu widersprüchlichen Ergebnissen führen würde.)

13.2 Gravitation in der Nähe der Erdoberfläche

Müssen Ingenieure die Erdrotation berücksichtigen, wenn sie sehr hohe Gebäude an einem anderen Ort als dem Äquator oder in unmittelbarer Nähe der Pole bauen?

13.3 Potenzielle Gravitationsenergie und Gesamtenergie

Es wurde festgestellt, dass sich ein Satellit mit negativer Gesamtenergie in einer gebundenen Umlaufbahn befindet, während sich einer mit null oder positiver Gesamtenergie in einer unbeschränkten Umlaufbahn befindet. Warum ist das wahr? Welche Wahl für die potentielle Gravitationsenergie wurde getroffen, damit dies wahr ist?

Es wurde gezeigt, dass die Energie, die benötigt wird, um einen Satelliten in einen niedrig Die Erdumlaufbahn (die Änderung der potentiellen Energie) ist nur ein kleiner Bruchteil der kinetischen Energie, die benötigt wird, um sie in der Umlaufbahn zu halten. Gilt das auch für größere Umlaufbahnen? Gibt es einen Trend beim Verhältnis von kinetischer Energie zu Änderung der potentiellen Energie mit zunehmender Größe der Umlaufbahn?

13.4 Satellitenumlaufbahnen und Energie

Ein Student argumentiert, dass sich ein Satellit im Orbit im freien Fall befindet, weil der Satellit immer wieder in Richtung Erde fällt. Ein anderer sagt, dass sich ein Satellit im Orbit nicht im freien Fall befindet, weil die Erdbeschleunigung nicht 9,80 m/s 2 9,80 m/s2 beträgt. Mit wem stimmen Sie zu und warum?

Viele Satelliten befinden sich in geosynchronen Umlaufbahnen. Was ist das Besondere an diesen Umlaufbahnen? Wie viele dieser Satelliten würden für ein globales Kommunikationsnetz benötigt?

13.5 Keplersche Gesetze der Planetenbewegung

Sind Keplers Gesetze rein beschreibend oder enthalten sie kausale Informationen?

Geben Sie im Diagramm unten für einen Satelliten auf einer elliptischen Umlaufbahn um eine viel größere Masse an, wo seine Geschwindigkeit am größten und wo am geringsten ist. Welches Erhaltungsgesetz schreibt dieses Verhalten vor? Geben Sie die Richtungen der Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit an diesen Punkten an. Zeichnen Sie Vektoren für dieselben drei Größen an den beiden Punkten, an denen ja-Achse schneidet (entlang der kleinen Halbachse) und bestimmt daraus, ob die Geschwindigkeit ansteigend abnehmend oder auf max/min.

13.6 Gezeitenkräfte

Wenn ein Objekt in ein Schwarzes Loch fällt, nehmen die Gezeitenkräfte zu. Werden diese Gezeitenkräfte das Objekt immer auseinanderreißen, wenn es sich dem Schwarzschild-Radius nähert? Wie wirken sich die Masse des Schwarzen Lochs und die Größe des Objekts auf Ihre Antwort aus?

13.7 Einsteins Theorie der Schwerkraft

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass alle Experimente, die in einem Labor in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld durchgeführt werden, nicht von denen unterschieden werden können, die in einem Labor durchgeführt werden, das sich nicht in einem Gravitationsfeld befindet, sondern sich gleichmäßig beschleunigt. Betrachten Sie im letzteren Fall, was mit einem Laserstrahl aus einiger Höhe passiert, der perfekt horizontal auf den Boden quer durch das Beschleunigungslabor geschossen wird. (Betrachten Sie dies von einem nicht beschleunigenden Rahmen außerhalb des Labors.) Wo trifft der Laserstrahl relativ zur Höhe des Lasers auf die gegenüberliegende Wand? Was sagt das über die Wirkung eines Gravitationsfeldes auf Licht aus? Macht die Tatsache, dass Licht keine Masse hat, einen Unterschied für die Argumentation?

Wenn sich eine Person dem Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs nähert, sehen externe Beobachter, dass sich alle Prozesse dieser Person (ihre Uhren, ihre Herzfrequenz usw.) verlangsamen und zum Stillstand kommen, wenn sie den Schwarzschild-Radius erreichen. (Die Person, die in das Schwarze Loch fällt, sieht ihre eigenen Prozesse unbeeinflusst.) Aber die Lichtgeschwindigkeit ist für alle Beobachter überall gleich. Was sagt das über den Weltraum aus, wenn Sie sich dem Schwarzen Loch nähern?

Probleme

13.1 Newtonsches Gesetz der universellen Gravitation

Bewerten Sie die Größe der Gravitationskraft zwischen zwei 5 kg schweren kugelförmigen Stahlkugeln, die durch einen Mittenabstand von 15 cm voneinander getrennt sind.

Schätzen Sie die Gravitationskraft zwischen zwei Sumoringer mit den Massen 220 kg und 240 kg, wenn sie umarmt werden und ihre Zentren 1,2 m voneinander entfernt sind.

Die Astrologie macht viel aus der Position der Planeten im Moment der Geburt. Die einzige bekannte Kraft, die ein Planet auf die Erde ausübt, ist die Gravitation. (a) Berechnen Sie die Gravitationskraft, die ein 100 kg schwerer Vater bei der Geburt in 0,200 m Entfernung auf ein 4,20 kg schweres Baby ausübt (er hilft, also ist er nah am Kind). (b) Berechnen Sie die Kraft auf das Baby aufgrund von Jupiter, wenn es sich in seiner nächsten Entfernung zur Erde befindet, etwa 6,29 × 10 11 m 6,29 × 1011 m entfernt. Wie verhält sich die Kraft des Jupiter auf das Baby im Vergleich zur Kraft des Vaters auf das Baby? Auch andere Objekte im Raum und im Krankenhausgebäude üben ähnliche Anziehungskräfte aus. (Natürlich könnte eine unbekannte Kraft wirken, aber Wissenschaftler müssen zuerst davon überzeugt werden, dass es überhaupt einen Effekt gibt, geschweige denn, dass eine unbekannte Kraft ihn verursacht.)

Ein Berg, der 10,0 km von einem Menschen entfernt ist, übt auf ihn eine Anziehungskraft aus, die 2,00% seines Gewichts entspricht. (a) Berechnen Sie die Masse des Berges. (b) Vergleichen Sie die Masse des Berges mit der Masse der Erde. (c) Was ist an diesen Ergebnissen unvernünftig? (d) Welche Prämissen sind unvernünftig oder widersprüchlich? (Beachten Sie, dass genaue Gravitationsmessungen die Auswirkungen nahegelegener Berge und Variationen in der lokalen Geologie leicht erkennen können.)

Die Internationale Raumstation ISS hat eine Masse von etwa 370.000 kg. (a) Wie groß ist die Kraft auf einen 150 kg schweren Astronauten, wenn er 20 m vom Massenmittelpunkt der Station entfernt ist? (b) Wie genau wäre Ihre Antwort Ihrer Meinung nach?

Der Asteroid Toutatis ist 2006 in vierfacher Entfernung zu unserem Mond in der Nähe der Erde vorbeigezogen. Dies war die engste Annäherung, die wir bis 2060 haben werden. Wenn es eine Masse von 5,0 × 10 13 kg 5,0 × 1013 kg hat, welche Kraft übte es bei seiner nächsten Annäherung auf die Erde aus?

(a) Welche Beschleunigung der Erde verursachte der Asteroid Toutatis (siehe vorheriges Problem) bei seiner größten Annäherung? (b) Wie hoch war die Beschleunigung von Toutatis zu diesem Zeitpunkt?

13.2 Gravitation in der Nähe der Erdoberfläche

(a) Berechnen Sie die Masse der Erde, wenn die Erdbeschleunigung am Nordpol 9,832 m/s 2 9,832 m/s2 beträgt und der Erdradius am Pol 6356 km beträgt. (b) Vergleichen Sie dies mit dem Earth Fact Sheet-Wert der NASA von 5,9726 × 10 24 kg, 5,9726 × 1024 kg.

(a) Wie groß ist die Erdbeschleunigung auf der Mondoberfläche? (b) Auf der Marsoberfläche? Die Masse des Mars beträgt 6,418 × 10 23 kg, 6,418 × 1023 kg und sein Radius beträgt 3,38 × 10 6 m 3,38 × 106 m.

(a) Berechnen Sie die Erdbeschleunigung auf der Sonnenoberfläche. (b) Um welchen Faktor würde Ihr Gewicht zunehmen, wenn Sie auf der Sonne stehen könnten? (Machen Sie sich keine Sorgen, dass Sie es nicht können.)

Die Masse eines Teilchens beträgt 15 kg.(a) Wie schwer ist es auf der Erde? (b) Welches Gewicht hat er auf dem Mond? (c) Wie groß ist seine Masse auf dem Mond? (d) Wie schwer ist sein Gewicht im Weltraum, weit entfernt von einem Himmelskörper? (e) Wie groß ist seine Masse an dieser Stelle?

Auf einem Planeten mit einem Radius von 1,2 × 10 7 m 1,2 × 107 m beträgt die Erdbeschleunigung 18 m/s 2 18 m/s2 . Wie groß ist die Masse des Planeten?

Der mittlere Durchmesser des Planeten Saturn beträgt 1,2 × 10 8 m 1,2 × 108 m , und seine mittlere Massendichte beträgt 0,69 g/cm 3 0,69 g/cm3 . Finden Sie die Erdbeschleunigung auf der Saturnoberfläche.

Der mittlere Durchmesser des Planeten Merkur beträgt 4,88 × 10 6 m 4,88 × 106 m , und die Erdbeschleunigung an seiner Oberfläche beträgt 3,78 m/s 2 3,78 m/s2 . Schätze die Masse dieses Planeten ab.

Die Erdbeschleunigung auf der Oberfläche eines Planeten ist dreimal so groß wie auf der Erdoberfläche. Die Massendichte des Planeten ist bekanntlich doppelt so groß wie die der Erde. Wie groß ist der Radius dieses Planeten in Bezug auf den Erdradius?

Ein Körper auf der Oberfläche eines Planeten mit dem gleichen Radius wie der der Erde wiegt zehnmal mehr als auf der Erde. Wie groß ist die Masse dieses Planeten in Bezug auf die Masse der Erde?

13.3 Potenzielle Gravitationsenergie und Gesamtenergie

Finden Sie die Fluchtgeschwindigkeit eines Projektils von der Marsoberfläche.

Finden Sie die Fluchtgeschwindigkeit eines Projektils von der Oberfläche des Jupiter.

Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit eines Satelliten, der sich auf der Umlaufbahn des Mondes um die Erde befindet? Angenommen, der Mond ist nicht in der Nähe.

(a) Bewerten Sie die potentielle Gravitationsenergie zwischen zwei 5,00 kg schweren kugelförmigen Stahlkugeln, die durch einen Mittenabstand von 15,0 cm voneinander getrennt sind. (b) Unter der Annahme, dass beide im Weltraum anfangs relativ zueinander in Ruhe sind, verwenden Sie die Energieerhaltung, um herauszufinden, wie schnell sie sich beim Aufprall fortbewegen. Jede Kugel hat einen Radius von 5,10 cm.

Ein Asteroid mittlerer Größe, der sich 5,0 × 10 7 km, 5,0 × 107 km von der Erde entfernt befindet, mit einer Masse von 2,0 × 10 13 kg 2,0 × 1013 kg wird mit einer Geschwindigkeit von 2,0 km/s direkt auf die Erde zugerichtet. Wie schnell wird es sein, bevor es unsere Atmosphäre trifft? (Sie können die Größe des Asteroiden ignorieren.)

(a) Wie groß wird die kinetische Energie des Asteroiden im vorherigen Problem sein, kurz bevor er die Erde trifft? b) Vergleichen Sie diese Energie mit der Leistung der größten Spaltbombe, 2100 TJ. Welche Auswirkungen hätte dies auf die Erde?

(a) Wie groß ist die Energieänderung einer 1000 kg schweren Nutzlast, die aus dem Ruhezustand auf der Erdoberfläche genommen und auf der Mondoberfläche ruht? (b) Was wäre die Antwort, wenn die Nutzlast von der Mondoberfläche zur Erde gebracht würde? Ist dies eine vernünftige Berechnung der Energie, die benötigt wird, um eine Nutzlast hin und her zu bewegen?

13.4 Satellitenumlaufbahnen und Energie

Wenn sich ein Planet mit der 1,5-fachen Erdmasse in der Erdumlaufbahn bewegen würde, wie groß wäre seine Periode?

Zwei Planeten auf Kreisbahnen um einen Stern haben Geschwindigkeiten von v und 2v. (a) Wie ist das Verhältnis der Bahnradien der Planeten? (b) Wie ist das Verhältnis ihrer Perioden?

Unter Verwendung des durchschnittlichen Abstands der Erde von der Sonne und der Umlaufperiode der Erde (a) finden Sie die Zentripetalbeschleunigung der Erde bei ihrer Bewegung um die Sonne. (b) Vergleichen Sie diesen Wert mit der Zentripetalbeschleunigung am Äquator aufgrund der Erdrotation.

Welchen Orbitalradius hat ein Erdsatellit mit einer Periode von 1,00 h? (b) Was ist an diesem Ergebnis unvernünftig?

Berechnen Sie die Masse der Sonne basierend auf Daten für die Erdumlaufbahn und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit der tatsächlichen Masse der Sonne.

Bestimmen Sie die Masse des Jupiter anhand der Tatsache, dass Io, sein innerster Mond, einen durchschnittlichen Umlaufradius von 421.700 km und eine Periode von 1,77 Tagen hat.

Astronomische Beobachtungen unserer Milchstraße weisen auf eine Masse von etwa 8,0 × 10 11 8,0 × 1011 Sonnenmassen hin. Ein Stern, der die Peripherie der Galaxie umkreist, ist etwa 6,0 × 10 4 6,0 × 104 Lichtjahre von seinem Zentrum entfernt. (a) Wie lang sollte die Umlaufzeit dieses Sterns sein? (b) Wenn ihre Periode stattdessen 6,0 × 10 7 6,0 × 107 Jahre beträgt, wie groß ist die Masse der Galaxie? Solche Berechnungen werden verwendet, um die Existenz anderer Materie zu implizieren, wie zum Beispiel ein sehr massereiches Schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße.

(a) Um zu verhindern, dass ein kleiner Satellit auf einen nahen Asteroiden abdriftet, wird er mit einer Periode von 3,02 Stunden und einem Radius von 2,0 km in eine Umlaufbahn gebracht. Welche Masse hat der Asteroid? (b) Erscheint diese Masse für die Größe der Umlaufbahn angemessen?

Mond und Erde rotieren um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, der etwa 4700 km vom Erdmittelpunkt entfernt liegt. (Dies ist 1690 km unter der Oberfläche.) (a) Berechnen Sie die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft des Mondes an diesem Punkt. (b) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung des Erdmittelpunkts, wenn er sich einmal im Mondmonat um diesen Punkt dreht (etwa 27,3 d) und vergleichen Sie sie mit der in Teil (a) gefundenen Beschleunigung. Kommentieren Sie, ob sie gleich sind oder nicht und warum sie es sein sollten oder nicht.

Die Sonne umkreist die Milchstraße einmal alle 2,60 × 10 8 Jahre 2,60 × 108 Jahre, mit einer ungefähr kreisförmigen Umlaufbahn mit einem durchschnittlichen Radius von 3,00 × 10 4 3,00 × 104 Lichtjahren. (Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn. Unterstützt Ihr Ergebnis die Behauptung, dass sich auf der Sonne ein nahezu inertialer Bezugssystem befinden kann? (b) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Sonne auf ihrer galaktischen Umlaufbahn. Überrascht Sie die Antwort?

Ein geosynchroner Erdsatellit hat eine Umlaufzeit von genau 1 Tag. Solche Umlaufbahnen sind nützlich für die Kommunikation und Wetterbeobachtung, da der Satellit über dem gleichen Punkt auf der Erde bleibt (vorausgesetzt, er kreist in der Äquatorebene in der gleichen Richtung wie die Erdrotation). Berechnen Sie den Radius einer solchen Umlaufbahn basierend auf den Daten für die Erde in Anhang D.

13.5 Keplersche Gesetze der Planetenbewegung

Berechnen Sie die Masse der Sonne basierend auf Daten für die durchschnittliche Erdumlaufbahn und vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem allgemein aufgeführten Wert der Sonne von 1,989 × 10 30 kg 1,989 × 1030 kg .

Io umkreist Jupiter mit einem durchschnittlichen Radius von 421.700 km und einer Periode von 1.769 Tagen. Welche Masse hat Jupiter auf Grundlage dieser Daten?

Der für astronomische Objekte, die die Sonne umkreisen, aufgeführte „mittlere“ Umlaufradius ist normalerweise kein integrierter Durchschnitt, sondern wird so berechnet, dass er bei Anwendung auf die Gleichung für kreisförmige Umlaufbahnen die korrekte Periode angibt. Wie groß ist der mittlere Orbitalradius in Bezug auf Aphel und Perihel?

Das Perihel des Halleyschen Kometen beträgt 0,586 AE und das Aphel 17,8 AE. Angenommen, seine Geschwindigkeit im Perihel beträgt 55 km/s, wie hoch ist die Geschwindigkeit im Aphel ( 1 AU = 1,496 × 10 11 m 1 AU = 1,496 × 1011 m )? (Hinweis: Sie können entweder Energieerhaltung oder Drehimpuls verwenden, aber letzteres ist viel einfacher.)

Das Perihel des Kometen Lagerkvist beträgt 2,61 AE und hat eine Periode von 7,36 Jahren. Zeigen Sie, dass das Aphel für diesen Kometen 4,95 AE beträgt.

Wie ist das Verhältnis der Geschwindigkeit am Perihel zu der am Aphel für den Kometen Lagerkvist im vorherigen Problem?

Eros hat eine elliptische Umlaufbahn um die Sonne mit einem Perihelabstand von 1,13 AE und einem Aphelabstand von 1,78 AE. Was ist die Periode seiner Umlaufbahn?

13.6 Gezeitenkräfte

(a) Was ist der Unterschied zwischen den Kräften auf eine Masse von 1,0 kg auf der nahen Seite von Io und der fernen Seite aufgrund von Jupiter? Io hat einen mittleren Radius von 1821 km und einen mittleren Orbitalradius um Jupiter von 421.700 km. (b) Vergleichen Sie diese Differenz mit der berechneten Differenz für die Erde aufgrund des Mondes, die in Beispiel 13.14 berechnet wurde. Gezeitenkräfte sind die Ursache für die vulkanische Aktivität von Io.

Wenn die Sonne in ein Schwarzes Loch kollabieren würde, wäre der Punkt ohne Rückkehr für einen Forscher etwa 3 km vom Zentrum der Singularität entfernt. Würde der Ermittler einen Besuch auch nur 300 km vom Zentrum entfernt überleben? Beantworten Sie dies, indem Sie den Unterschied in der Gravitationsanziehung ermitteln, die Schwarze Löcher auf eine Masse von 1,0 kg am Kopf und an den Füßen des Forschers ausüben.

Betrachten Sie Abbildung 13.23 in Gezeitenkräfte. Dieses Diagramm stellt die Gezeitenkräfte für Springfluten dar. Skizzieren Sie ein ähnliches Diagramm für Nippgezeiten. (Hinweis: Stellen Sie sich der Einfachheit halber vor, dass Sonne und Mond gleich viel beitragen. Ihr Diagramm wäre die Vektorsumme zweier Kraftfelder (wie in Abbildung 13.23), um den Faktor zwei reduziert und rechtwinklig überlagert.)

13.7 Einsteins Theorie der Schwerkraft

Wie groß ist der Schwarzschildradius für das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxie, wenn es die Masse von 4 Millionen Sonnenmassen hat?

Was wäre der Schwarzschild-Radius in Lichtjahren, wenn unsere Milchstraße mit 100 Milliarden Sternen zu einem Schwarzen Loch kollabieren würde? Vergleichen Sie dies mit unserer Entfernung vom Zentrum, etwa 13.000 Lichtjahre.

Zusätzliche Probleme

Ein Neutronenstern ist ein kalter, kollabierter Stern mit Kerndichte. Ein bestimmter Neutronenstern hat die doppelte Masse unserer Sonne mit einem Radius von 12,0 km. (a) Wie schwer wäre ein 100 kg schwerer Astronaut, wenn er auf seiner Oberfläche steht? (b) Was sagt uns das über die Landung auf einem Neutronenstern?

(a) Wie weit vom Erdmittelpunkt entfernt wäre die Nettogravitationskraft der Erde und des Mondes auf ein Objekt null? (b) Einstellen der Größen der Kräfte gleich sollten zwei Antworten aus dem Quadrat ergeben. Verstehen Sie, warum es zwei Positionen gibt, aber nur eine, bei der die Nettokraft null ist?

Wie weit vom Sonnenmittelpunkt entfernt wäre die Nettogravitationskraft der Erde und der Sonne auf einem Raumschiff Null?

Berechnen Sie die Werte von G an der Erdoberfläche für die folgenden Änderungen der Erdeigenschaften: (a) seine Masse wird verdoppelt und sein Radius wird halbiert (b) seine Massendichte wird verdoppelt und sein Radius bleibt unverändert (c) seine Massendichte wird halbiert und seine Masse bleibt unverändert.

Angenommen, Sie können mit den Bewohnern eines Planeten in einem anderen Sonnensystem kommunizieren. Sie sagen Ihnen, dass auf ihrem Planeten, dessen Durchmesser und Masse 5,0 × 10 3 km, 5,0 × 103 km und 3,6 × 10 23 kg 3,6 × 1023 kg betragen, der Rekord für den Hochsprung 2,0 m beträgt. Angesichts der Tatsache, dass dieser Rekord auf der Erde fast 2,4 m beträgt, was würden Sie über die Sprungfähigkeiten Ihrer außerirdischen Freunde schlussfolgern?

(a) Nehmen Sie an, Ihr gemessenes Gewicht am Äquator ist die Hälfte Ihres gemessenen Gewichts am Pol eines Planeten, dessen Masse und Durchmesser denen der Erde entsprechen. Was ist die Rotationsperiode des Planeten? (b) Müssen Sie die Form dieses Planeten berücksichtigen?

Ein Körper mit einer Masse von 100 kg wird am Nordpol und am Äquator mit einer Federwaage gewogen. Wie ist der Skalenwert an diesen beiden Punkten? Angenommen g = 9,83 m/s 2 g = 9,83 m/s2 am Pol.

Finden Sie die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um von der Erdoberfläche aus aus dem Sonnensystem zu entkommen. Angenommen, es sind keine anderen Körper beteiligt und berücksichtigen nicht die Tatsache, dass sich die Erde auf ihrer Umlaufbahn bewegt. [Hinweis: Gleichung 13.6 gilt nicht. Verwenden Sie Gleichung 13.5 und schließen Sie die potentielle Energie von Erde und Sonne ein.

Betrachten Sie das vorherige Problem und berücksichtigen Sie die Tatsache, dass die Erde eine Umlaufgeschwindigkeit von 29,8 km/s um die Sonne hat. (a) Welche Geschwindigkeit relativ zur Erde wäre erforderlich und in welche Richtung sollte man die Erde verlassen? (b) Wie wird die Flugbahn aussehen?

Ein Komet wird 1,50 AE von der Sonne entfernt mit einer Geschwindigkeit von 24,3 km/s beobachtet. Befindet sich dieser Komet auf einer gebundenen oder ungebundenen Umlaufbahn?

Ein Asteroid hat eine Geschwindigkeit von 15,5 km/s, wenn er sich 2,00 AE von der Sonne entfernt befindet. Bei seiner nächsten Annäherung ist es 0,400 AE von der Sonne entfernt. Wie hoch ist seine Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt?

Weltraumschrott, der von alten Satelliten und ihren Trägerraketen zurückbleibt, wird zu einer Gefahr für andere Satelliten. (a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines Satelliten in einer Umlaufbahn 900 km über der Erdoberfläche. (b) Angenommen, eine lose Niete befindet sich in einer Umlaufbahn mit demselben Radius, die die Umlaufbahn des Satelliten in einem Winkel von 90 ° 90 ° schneidet. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Niete relativ zum Satelliten kurz vor dem Auftreffen? (c) Wenn seine Masse 0,500 g beträgt und er im Inneren des Satelliten zur Ruhe kommt, wie viel Energie in Joule wird durch die Kollision erzeugt? (Angenommen, die Geschwindigkeit des Satelliten ändert sich nicht merklich, da seine Masse viel größer ist als die des Nietes.)

Ein Satellit mit einer Masse von 1000 kg befindet sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Der Radius der Umlaufbahn des Satelliten ist gleich dem doppelten Radius der Erde. (a) Wie weit ist der Satellit entfernt? (b) Bestimmen Sie die kinetische, potentielle und Gesamtenergie des Satelliten.

Nachdem Ceres zu einem Zwergplaneten erhoben wurde, erkennen wir nun Vesta als größten bekannten Asteroiden mit einer Masse von 2,67 × 10 20 kg, 2,67 × 1020 kg und einem Durchmesser von 578 km bis 458 km. Angenommen, Vesta ist kugelförmig mit einem Radius von 520 km, ermitteln Sie die ungefähre Fluchtgeschwindigkeit von seiner Oberfläche.

(a) Wie wäre die Umlaufzeit einer Raumsonde auf einer kreisförmigen Umlaufbahn von 10,0 km von ihrer Oberfläche, wenn man die Daten des vorherigen Problems für den Asteroiden Vesta verwendet? (b) Warum ist diese Berechnung bestenfalls von geringem Nutzen?

Wie groß ist die Umlaufgeschwindigkeit unseres Sonnensystems um das Zentrum der Milchstraße? Nehmen Sie an, dass die Masse innerhalb einer Kugel mit einem Radius gleich unserer Entfernung vom Zentrum etwa 100 Milliarden Sonnenmassen beträgt. Unsere Entfernung vom Zentrum beträgt 27.000 Lichtjahre.

(a) Welche Geschwindigkeit benötigen Sie unter Verwendung der Informationen aus dem vorherigen Problem, um der Milchstraße von unserer gegenwärtigen Position zu entkommen? (b) Müssen Sie ein Raumschiff auf diese Geschwindigkeit relativ zur Erde beschleunigen?

Kreisbahnen in Gleichung 13.10 für Kegelschnitte müssen die Exzentrizität Null haben. Zeigen Sie daraus und unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes, das auf die Zentripetalbeschleunigung angewendet wird, dass der Wert von α α in Gleichung 13.10 gegeben ist durch α = L 2 G M m 2 α = L2GMm2 wobei L ist der Drehimpuls des umkreisenden Körpers. Der Wert von α α ist konstant und wird durch diesen Ausdruck unabhängig von der Art der Umlaufbahn angegeben.

Zeigen Sie, dass für eine Exzentrizität gleich eins in Gleichung 13.10 für Kegelschnitte der Pfad eine Parabel ist. Tun Sie dies, indem Sie kartesische Koordinaten ersetzen, x und ja, für die Polarkoordinaten, r und θ , und zeigt, dass sie die allgemeine Form für eine Parabel hat, x = a y 2 + b y + c x = ay2 + by+c .

Zeigen Sie mit der in Satellite Orbits and Energy gezeigten Technik, dass zwei Massen m 1 m1 und m 2 m2 auf kreisförmigen Umlaufbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt die Gesamtenergie E = K + E = K 1 + K 2 − G m 1 . haben m 2 r = − G m 1 m 2 2 r E=K+E=K1+K2−Gm1m2r=−Gm1m22r . Wir haben die kinetische Energie beider Massen explizit gezeigt. (Hinweis: Die Massen kreisen bei den Radien r 1 r1 bzw. r 2 r2 , wobei r = r 1 + r 2 r = r1+r2 . Achten Sie darauf, den für die Zentripetalbeschleunigung benötigten Radius nicht mit dem für die Gravitationskraft zu verwechseln.)

Angesichts des Perihelabstands p, und Aphelionsabstand, q, für eine elliptische Bahn zeigen, dass die Geschwindigkeit am Perihel, v p vp , gegeben ist durch v p = 2 G M Sonne ( q + p ) q p ‾‾‾‾‾‾‾‾√ vp=2GMSun(q+p)qp . (Hinweis: Verwenden Sie die Drehimpulserhaltung, um v p vp und v q vq in Beziehung zu setzen, und setzen Sie sie dann in die Energieerhaltungsgleichung ein.)

Komet P/1999 R1 hat ein Perihel von 0,0570 AE und ein Aphel von 4,99 AE. Bestimmen Sie mit den Ergebnissen des vorherigen Problems seine Geschwindigkeit am Aphel. (Hinweis: Der Ausdruck steht für das Perihel. Verwenden Sie Symmetrie, um den Ausdruck für das Aphel umzuschreiben.)

Herausforderungsprobleme

Ein Tunnel wird durch das Zentrum eines perfekt kugelförmigen und luftlosen Planeten mit Radius . gegraben R. Den Ausdruck für verwenden G abgeleitet in Gravitation Near Earth’s Surface für eine einheitliche Dichte, zeigen, dass ein Teilchen der Masse ich im Tunnel fallen gelassen wird eine einfache harmonische Bewegung ausführen. Leiten Sie die Schwingungsdauer von ab ich und zeigen Sie, dass sie die gleiche Periode wie eine Umlaufbahn an der Oberfläche hat.

Befolgen Sie die in Gravitation Near Earth’s Surface verwendete Technik, um den Wert von zu finden G als Funktion des Radius r vom Zentrum eines Kugelschalenplaneten konstanter Dichte ρ ρ mit Innen- und Außenradius R in Rin und Rout-Route . Finden G sowohl für R in < r < R out Rin<r<Rout als auch für r < R in r<Rin . Unter der Annahme, dass das Innere der Schale luftleer bleibt, beschreiben Sie die Reise innerhalb des Kugelschalenplaneten.

Zeigen Sie, dass die Flächengeschwindigkeit für eine Kreisbahn mit Radius r über eine Masse M ist A t = 1 2 GM r ‾‾‾‾‾√ ΔAΔt=12GMr . Gibt Ihr Ausdruck den richtigen Wert für die Flächengeschwindigkeit der Erde um die Sonne an?

Zeigen Sie, dass die Bahnperiode für zwei Massen m 1 m1 und m 2 m2 auf Kreisbahnen der Radien r 1 r1 bzw. r 2 r2 um ihren gemeinsamen Schwerpunkt gegeben ist durch T = 2 π r 3 G (m 1 + m 2 ) wobei r = r 1 + r 2 T=2πr3G(m1+m2)wobeir=r1+r2 ist. (Hinweis: Die Massen kreisen bei den Radien r 1 r1 bzw. r 2 r2 mit r = r 1 + r 2 r = r1+r2 . Verwenden Sie den Ausdruck für den Massenmittelpunkt, um die beiden Radien in Beziehung zu setzen, und beachten Sie, dass die beiden Massen gleiche, aber entgegengesetzte Impulse haben müssen. Beginnen Sie mit dem Verhältnis der Periode zum Umfang und der Geschwindigkeit der Umlaufbahn für eine der Massen. Verwenden Sie das Ergebnis des vorherigen Problems mit Impulsen in den Ausdrücken für die kinetische Energie.)

Zeigen Sie, dass für kleine Höhenänderungen ha, so dass h < < R E h < <RE , Gleichung 13.4 reduziert sich auf den Ausdruck U = mg h U = mgh .

Skizzieren Sie mit Abbildung 13.9 sorgfältig ein Freikörperdiagramm für den Fall eines einfachen Pendels, das bei der Breite Lambda hängt, und benennen Sie alle Kräfte, die auf die Punktmasse wirken, ich. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für das Gleichgewicht auf, indem Sie eine Koordinate in Richtung der Zentripetalbeschleunigung (in Richtung P im Diagramm), die andere senkrecht dazu. Zeigen Sie, dass der Ablenkwinkel ε ε , definiert als der Winkel zwischen der Pendelschnur und der radialen Richtung zum Erdmittelpunkt, durch den folgenden Ausdruck gegeben ist. Was ist der Ablenkwinkel bei 45 Grad Breite? Angenommen, die Erde ist eine perfekte Kugel. tan ( λ + ε ) = g ( g − ω 2 R E ) tan λ tan(λ+ε)=g(g−ω2RE)tanλ , wobei ω ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist.

(a) Zeigen Sie, dass die Gezeitenkraft auf ein kleines Objekt der Masse ich, definiert als die Unterschied in der Gravitationskraft, die auf . ausgeübt würde ich in einer Entfernung an der nahen und der fernen Seite des Objekts, aufgrund der Gravitation in der Entfernung R von M, ist gegeben durch Ftidal = 2GMmR3Δr Ftidal=2GMmR3Δr wobei ΔrΔr der Abstand zwischen der nahen und fernen Seite ist und r < < R rr<<R . (b) Angenommen, Sie fallen mit den Füßen voran in das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxie. Es hat eine Masse von 4 Millionen Sonnenmassen.Was wäre der Unterschied zwischen der Kraft an Ihrem Kopf und Ihren Füßen am Schwarzschild-Radius (Ereignishorizont)? Gehen Sie davon aus, dass Ihre Füße und Ihr Kopf jeweils 5,0 kg wiegen und 2,0 m voneinander entfernt sind. Würden Sie es überleben, den Ereignishorizont zu durchqueren?

Finden Sie die Hohmann-Transfergeschwindigkeiten Δ v EllipseEarth ΔvEllipseEarth und Δ v EllipseMars ΔvEllipseMars , die für eine Reise zum Mars benötigt werden. Verwenden Sie Gleichung 13.7, um die Kreisbahngeschwindigkeiten für Erde und Mars zu ermitteln. Unter Verwendung von Gleichung 13.4 und der Gesamtenergie der Ellipse (mit großer Halbachseein), gegeben durch E = − G m M s 2 a E=−GmMs2a , ermitteln Sie die Geschwindigkeiten auf der Erde (Perihel) und auf dem Mars (Aphel), die auf der Transferellipse liegen müssen. Die Differenz ΔvΔv an jedem Punkt ist die benötigte Geschwindigkeitsverstärkung oder Übertragungsgeschwindigkeit.


Schau das Video: Die Erde ist flach! Wirklich? Harald Lesch (September 2022).


Bemerkungen:

  1. Wemilat

    Diese Frage wird nicht besprochen.

  2. Zeus

    Ich mochte deinen Blog sehr!

  3. Sever

    Warum gehen alle Lorbeer zum Autor und wir werden ihn auch hassen?

  4. Abelard

    Ich entschuldige mich, aber meiner Meinung nach haben Sie nicht Recht. Lassen Sie uns darüber diskutieren. Schreiben Sie mir in PM.

  5. Goltilrajas

    für immer bist du nicht so !!



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